Question

12 за легкую ! основанием пирамиды является равнобедренный треугольник , высота которого равна 27 , а основание равно 18 . каждое боковое ребро пирамиды равно 39 . найти обьем пирамиды.

Answer 1

Если все боковые рёбра пирамиды равны, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около её основания.
BO - высота пирамиды, O - центр окружности, описанной около ABC, OB - радиус этой окружности (см. рис.).
$OB=\frac{AB^2\cdotAC}{4\sqrt{p(p-a)^2(p-b)}}$, где p - полупериметр ABC
$p=\frac12(AB+BC+AC)=\frac12(27+27+18) = \frac12\cdot72=36\\OB=\frac{729\cdot18}{4\sqrt{36(36-27)^2(36-18)}}=\frac{13122}{4\sqrt{36\cdot81\cdot18}}=\frac{13122}{4\cdot6\cdot9\cdot3\sqrt2}=\frac{13122}{648\sqrt2}=\frac{81}{4\sqrt2}$
Из треугольника ODB по теореме Пифагора высота пирамиды DO равна
$DO=\sqrt{DB^2-OB^2}=\sqrt{1521-\frac{6561}{32}}=\sqrt{\frac{48672-6561}{32}}=\sqrt{\frac{42111}{32}}=\\=\sqrt{\frac{4679\cdot9}{16\cdot2}}=\sqrt{\frac{9358\cdot9}{64}}=$
Площадь основания пирамиды
$S=\frac12\cdot18\cdot\sqrt{\left(27+\frac12\cdot18\right)\left(27-\frac12\cdot18\right)}=9\sqrt{36\cdot18}=162\sqrt2$
Тогда объём пирамиды 
$V=\frac13Sh=\frac13\cdot162\sqrt2\cdot\frac38\sqrt{9358}=\frac{81\sqrt{18716}}4=\frac{81}2\cdot\sqrt{4679}$