Question

Найти координаты центра и радиус круга 4x^2+4y^2-4x+20y-23=0

Answer 1

$\displaystyle 4x^2+4y^2-4x+20y-23=0.$

Решим для $\displaystyle x$:
$\displaystyle 4x^2-4x+(4y^2+20y-23)=0;$
$\displaystyle x=\frac{4\pm\sqrt{16-16(4y^2+20y-23)}}{8}=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{16-64y^2-320y+368}}{\sqrt{8^2}}=$
$\displaystyle =\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{384-64y^2-320y}{64}}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{-y^2-5y+6}.$

Найдём $\displaystyle x$ при $\displaystyle y=0:$
$\displaystyle x=\frac{1}{2}\pm\sqrt{6}.$
Абсцисса центра находится посередине между найденными:
$\displaystyle O_x=\frac{\frac{1}{2}-\sqrt{6}+\frac{1}{2}+\sqrt{6}}{2}=\frac{1}{2}.$

Решим для $\displaystyle y$:
$\displaystyle 4y^2+20y+(4x^2-4x-23)=0;$
$\displaystyle y=\frac{-20\pm\sqrt{400-16(4x^2-4x-23)}}{8}=-\frac{5}{2}\pm\frac{\sqrt{400-64x^2+64x+368}}{\sqrt{8^2}}=$
$\displaystyle =\pm\sqrt{\frac{768-64x^2+64x}{64}}-\frac{5}{2}=\pm\sqrt{-x^2+x+12}-\frac{5}{2}.$

Найдём $\displaystyle y$ при $\displaystyle x=0:$
$\displaystyle y=\pm\sqrt{12}-\frac{5}{2}.$
Ордината центра находится посередине между найденными:
$\displaystyle O_y=\frac{\sqrt{12}-\frac{5}{2}-\sqrt{12}-\frac{5}{2}}{2}=-\frac{5}{2}.$

Центр окружности находится в точке $\displaystyle O=\Big(O_x;O_y\Big)=\boxed{{\Big(\dfrac{1}{2};-\dfrac{5}{2}\Big)}}\phantom{.}.$

Найдём ординаты точек на окружности с абсциссой её центра:
$\displaystyle y=\pm\sqrt{-O_x^{\phantom{x}2}+O_x+12}-\frac{5}{2}=\pm\sqrt{-\Big(\frac{1}{2}\Big)^2+\frac{1}{2}+12}-\frac{5}{2}=\pm\sqrt{\frac{1}{4}+12\cdot\frac{4}{4}}-\frac{5}{2}=$
$\displaystyle =\pm\sqrt{\frac{1+48}{4}}-\frac{5}{2}=\pm\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{4}}-\frac{5}{2}=\frac{\pm 7-5}{2}.$

Половина расстояния между найденными ординатами есть радиус:
$\displaystyle r=\frac{\left|\frac{7-5}{2}-\frac{-7-5}{2}\right|}{2}=\frac{\left|\frac{7}{2}+\frac{7}{2}\right|}{2}=\frac{\left|7\right|}{2}=\boxed{\frac{7}{2}}\phantom{.}.$