Question

Вычислить двойной интеграл,ограниченного заданными линиями: ∫ ∫ по области d int x dx dy, d: y=x+2, y=x^2

Answer 1

Найдем абсциссы точек пересечения графиков
х+2=х²
х²-х-2=0
х₁=-1    х₂=2
Это пределы интегрирования внешнего интеграла по переменной х
Второй интеграл по переменной у, тогда подинтегральная переменная х представляет для внутреннего интеграла константу , её можно вынести за знак внутреннего интеграла.
первая линия (линия входа в область по оси у): парабола у=х² . Это нижний предел внутреннего интеграла по переменной у,
вторая линия (линия выхода из области): прямая у=х+2. Это верхний предел внутреннего интеграла по переменной у
$= \int\limits^2_{-1} {x} \, dx \int\limits^{x+2}_{ x^{2} } {} \, dy= \int\limits^2_{-1} {x\cdot(y)^{x+2}_{ x^{2} }} \, dx = \int\limits^2_{-1} {x\cdot(x+2- x^{2} ) \, dx =$
$\\ \\ = \int\limits^2_{-1} ( x^{2} +2x- x^{3}) dx =( \frac{ x^{3} }{3}+ x^{2} - \frac{ x^{4} }{4}) ^2_{-1}= \\ \\ = \frac{8}{3}+4-4-(- \frac{1}{3}+1- \frac{1}{4})=2 \frac{1}{4}$