Question

Найдите знаменатель бесконечно убывающей прогрессии , если сумма всех членов прогресси равна 36 , а сумма всех членов этой прогресси с четными номерами равна 3

Answer 1

Для исходной бесконечно убывающей геометрической прогрессии ($b_n$) имеем по условию: $S=b_1+b_2+b_3+...=\dfrac{b_1}{1-q}=36$, где q - знаменатель исходной прогрессии.
Теперь рассмотрим прогрессию ($c_n$), составленную из членов исходной прогрессии с четными номерами, т.е. $c_1=b_2,\ c_2=b_4,\ c_3=b_6,\ ...$. Эта новая прогрессия - также геометрическая бесконечно убывающая. Следовательно,
$\tilde{S}=c_1+c_2+c_3+...=\dfrac{c_1}{1-\tilde{q}}=3$, где $\tilde{q}$ - знаменатель уже новой прогрессии.
Преобразуем: 
$\tilde{S}=3=\dfrac{c_1}{1-\tilde{q}}=\dfrac{b_2}{1-\frac{b_4}{b_2}}=\dfrac{(b_2)^2}{b_2-b_4}=\dfrac{(b_2)^2}{b_2-b_2q^2}=\dfrac{b_2}{1-q^2}=\dfrac{b_1q}{1-q^2}$
Получим систему уравнений: $\begin{cases} \frac{b_1}{1-q}=36 \\ \frac{b_1q}{1-q^2}=3 \end{cases}$
Делим первое уравнение на второе:
$\dfrac{b_1}{1-q}*\dfrac{(1-q)(1+q)}{b_1q}=\frac{36}{3} \\ \dfrac{1+q}{q}=12 \\ 1+q=12q \\ 11q=1 \\ q= \frac{1}{11}$
ответ: $\frac{1}{11}$