Question

Что больше сумма пятых степеней натуральных чисел от 1 до 10000 или сумма десятых степеней натуральных чисел от 1 до 100?

Answer 1

 Положим что
$1^5+2^5+...+9999^5+10^{20} \ \textgreater \ 1^{10}+2^{10}+... + 99^{10}+10^{20}\\ 2^5+...+9999^5\ \textgreater \ 2^{10}+... + 99^{10}\\$
Заметим что 
$2^5+...+9999^5\ \textgreater \ 2^{10}+... + 99^{10}\\ 9999^5=99^5*101^5\ \textgreater \ 99^{10} \\ 9998 \ \textless \ 98^5*102^5 \ \textgreater \ 98^{10} \\ 9997 \ \textless \ 97^5*103^{5} \ \textgreater \ 97^{10} \\ .....$  
То есть,  изначальное  положение неравенство верное  
 
  
 так же можно оценить данное неравенство через формулу , к примеру
 $a^5+b^5+c^5+d^5+...+ f^5 = (a+b+c+d+...+f)^5-5abcdf+....$ 
 и для в старшей степени в данном условий