Question

Стороны ас, ав и вс треуголника авс равны 2√5,√13 и 2 соответственно. точка к расположена вне треугольника авс, причем отрезок кс пересекает сторону ав в точке, отличной от в. известно, что треугольник с вершинами к, а и с подобен исходному. найдите косинус угла ∠акс, если ∠кас> 90° . (желательно с чертежом)

Answer 1

Треугольники АВС и АКС подобны, значит соответственные углы у них равны. 
В ΔАВС найдём косинусы каждого из трёх его углов по теореме косинусов 
a² = b² + c² - 2*b*c* cos<A,
где a, b, c  - длины сторон треугольника, <A - угол, противолежащий искомой стороне
отсюда выразим косинус угла
cos<A = (b² + c² - a²) / (2bc)

1) cos A=(AB² + AC²  -  BC²) / (2*AB*AC) = (√13² + (2√5)² -  2²) / (2*√13 * 2√5) =
= 29/(4√65) > 0 значит,  < А - острый

2) cos B=( AB² + BC² - AC²) / (2*AB*BC) =( (√13² + 2² - (2√5)² ) / (2*  2√5 * 2) =
= (13 + 4 - 20) / (4√5) = - 3/(4√5) < 0   При отрицательном значении косинуса < B - тупой

3) cos C= (AC² + BC² - AB²) / (2*AC*BC) =( (2√5)² + 2² - √13²) / (2*2√5 * 2) = 
 = (20 + 4 - 13)/ (8√5) = 11/ (8√5) > 0  < C - острый

Отрицательное значение  у  угла В,  <  В тупой  => < B = < АКС, 
тогда cos < AKC  = 3 /(4√5) =  $\frac{3 \sqrt{5} }{20}$   
Ответ   3 /(4√5)   или  $\frac{3 \sqrt{5} }{20}$