Question

Исследовать функцию y=(x^2-1)/(x^2 +1) и построить схематично её график

Answer 1

$y = \frac{x^2-1}{x^2+1} =1 - \frac{2}{x^2+1}$

1. Область определения  D(y) = R

2. Область значений
  x² ≥ 0
  x² + 1 ≥1
  $0 \ \textless \ \frac{1}{x^2+1} \leq 1 \\ \\ 0 \ \textgreater \ \frac{-2}{x^2+1} \geq -2 \\ \\ 1\ \textgreater \ 1- \frac{2}{x^2+1} \geq -1$
  Область значений E(y) = [-1; 1)

3. Функция четная
   $f(-x) = 1 - \frac{2}{(-x)^2+1} =1 - \frac{2}{x^2+1} = f(x)$

4. Нули функции
   y = 0        $1 - \frac{2}{x^2+1} =0$       $\frac{x^2 + 1-2}{x^2+1} = 0$  
                   $x^2 - 1= 0$
          $x=б1$

   Функция пересекает ось OY в точке
   x = 0     $y =1 - \frac{2}{0^2+1} = -1$

5. y < 0   при   x ∈ (-1; 1)
    y > 0   при   x ∈ (-∞; -1) ∪ (1; +∞)

6. Точки экстремума функции через производную

  $y' = (1 - \frac{2}{x^2+1} )'=(- 2(x^2+1)^{-1})'= \frac{4x}{(x^2+1)^2} =0$

   x = 0;  y = -1  - минимум функции (п.2)
   Функция максимума не имеет.

7. Функция убывает на промежутке      x ∈ (-∞;0]
    Функция возрастает на промежутке  x ∈ [0; +∞)