Question

При каком условии интеграл представляет собой рациональную функцию? я не представляю что нужно мне доказать и что вообще за условие, условие для a,b и c?

Answer 1

 Положим $\frac{nx^2+mx+v}{x^3} + \frac{ux+y}{(x-1)^2} = \frac{ax^2+bx+c}{x^3(x-1)^2}$  
Открыв скобки , и приравняв соответствующие коэффициенты 
$n+u=0 \\ m-2n+y=0\\ -2m+n+v=a \\ m-2v=b \\ v=c$        
$m=2c+b \\ n= a+2b+3c \\ u=-a-2b-3c \\ v=c \\ y=2a+3b+4c$     
$\frac{(a+b*2+3c)*x^2+(2c+b)x+c}{x^3} + \frac{ (-a-2b-3c)x+2a+3b+4c}{(x-1)^2}$    По отдельности 
$\frac{a+2b+3c}{x} + \frac{2c+b}{x^2} + \frac{c}{x^3}$ $+ \frac{ (-a-2b-3c)x+2a+3b+4c}{(x-1)^2}$ 
По свойству интеграла 
$\int\limit {(f(x)+f_{1} +...+(x) + f_{n}(x)} )dx =\int\limits{f_{1}(x)} \, dx+\int\limits { f_{2}(x)}dx+...+$ 
Получим  
$\frac{a+b+c}{1-x} - \frac{b+2c}{x} - \frac{c}{2x^2} + ln(1-x)(a+2b+3c) + lnx(a+2b+3c)+C$ 
Откуда следует  , для того чтобы функция была рациональной  
 $1) a+2b+3c=0 \\a+b+c\ \textgreater \ 0 \\ b+2c\ \textless \ 0\\ c\ \textless \ 0 \\\\ 2)a+2b+3c=0 \\ a+b+c\ \textless \ 0 \\b+2c\ \textgreater \ 0\\ c\ \textless \ 0 \\\\ 3) a+2b+3c=0\\a+b+c\ \textless \ 0 \\ b+2c\ \textgreater \ 0\\ c\ \textgreater \ 0 \\\\$
 
Откуда решения      
$1) \\ a\ \textgreater \ 0 \ \ ; b\ \textgreater \ -\frac{a}{2} \ \ ; c=\frac{-a-2b}{3} \\ a \leq 0 \ \ b\ \textgreater \ -2a \ \ ; c = \frac{-a-2b}{3}$
$2) \\ a\ \textless \ 0 \ \ ; -\frac{a}{2}\ \textless \ b\ \textless \ -2a \ \ ; \ \ \ c = \frac{-a-2b}{3}$                                        
$3) \\ a\ \textgreater \ 0 ; \ \ b\ \textless \ -2a ; \ \ c=\frac{-a-2b}{3} \\ a \leq 0 \ \ b\ \textless \ -\frac{a}{2} \ \ c=-\frac{-a-2b}{3}$