Даны вершины треугольника АВС: A(-1;5); B(-3;-2); C(2;2).
Найти:
1)уравнение стороны ВС и ее длину.
Вектор ВС = (2-(-3); 2-(-2)) = (5; 4).
Уравнение ВС: (х + 3)/5 = (у + 2)/4 каноническое или
4х – 5у + 2 = 0 в общем виде.
2)уравнение медианы BD и ее длину.
Находим координаты точки D как середины стороны АС.
D = (A(-1;5) + C(2;2)) / 2 = (0,5; 3,5).
Вектор ВD = (0,5-(-3); 3,5-(-2)) = (3,5; 5,5).
Уравнение ВD: (х + 3)/3,5 = (у + 2)/5,5 или в целых числах
(х + 3)/7 = (у + 2)/11,
11x -7y + 19 = 0 в общем виде.
3)уравнение высоты AK.
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
(x – xo)/A = (y – yo)/B
Найдем уравнение высоты через вершину A к стороне ВС.
(x – (-1))/4 = (y – 5)/(-5),
y = (-5/4)x + (15/4) или 5x + 4y - 15 = 0.
4) точку пересечения медианы BD и высоты AK.
Решаем систему.
{11x -7y + 19 = 0 (x4) = 44x -28y + 76 = 0
{5x + 4y - 15 = 0 (x7) = 35x + 28y – 105 = 0
79x - 29 = 0,
x = 29/79 ≈ 0,36709,
y = (-5/4)*(29/79) + (15/4) = 1040/316 = 260/79 ≈ 3,2911.
Найдена точка F((29/79; (260/79)).
5) угол А в треугольнике АВС с вершинами A(-1;5); B(-3;-2); C(2;2).
Находим векторы АВ и АС.
Вектор АВ = (-3-(-1); -2-5) = (-2; -7), модуль равен √(4+49) = √53.
Вектор АС = (2-(-1); 2-5) = (3; -3), модуль равен √(9+9) = 3√2.
Находим косинус угла A = (АВ_АС):
cos A = (-2*3 + (-7)*(-3)/( √53*3√2) = 15/(3√106) = 5√106/106 ≈ 0,48564,
угол А = arccos(5√106/106) = 1,0637 радиан или 60,9454 градуса.
x/(x/2+x/3)=x/(5x/6)=6x/5x = 6/5 часа. 6/5*60 минут = 1 час 12 минут