Question

Найти площадь фигуры ограниченной кривой y=корень(2-x), и прямой, проходящей через точки a(1; 1) и b(-5; 3)

Answer 1

$A(1;1), B(-5;3), \\ \frac{x+5}{1+5}=\frac{y-3}{1-3}, \\ \frac{x+5}{6}=\frac{y-3}{-2}, \\ -\frac{x}{3}-\frac{5}{3}=y-3, \\ y=-\frac{x}{3}+\frac{4}{3}; \\ y=\sqrt{2-x}, \\ -\frac{x}{3}+\frac{4}{3}=\sqrt{2-x}, \\ (4-x)^2=9(2-x), \\ 16-8x+x^2=18-9x, \\ x^2+x-2=0, \\ x_1=-2, x_2=1;$
$\int\limits_{-2}^1 {\sqrt{2-x}-(-\frac{x}{3}+\frac{4}{3})} \, dx = \int\limits_{-2}^1 {\sqrt{2-x}+\frac{x}{3}-\frac{4}{3}} \, dx =\\= -\int\limits_{-2}^1 {\sqrt{2-x}} \, d(2-x) + \frac{1}{3}\int\limits_{-2}^1 {x} \, dx - \frac{4}{3}\int\limits_{-2}^1 {} \, dx =\\= (-\frac{2\sqrt{(2-x)^3}}{3}+\frac{x^2}{6}-\frac{4x}{3})|_{-2}^1 =\\= \frac{1}{3}(\frac{1^2}{2}-2\sqrt{(2-1)^3}-4\cdot1-\frac{(-2)^2}{2}+2\sqrt{(2-(-2))^3}+4\cdot(-2)) =$
$=\frac{1}{3}(\frac{1}{2}-2-4-2+16-8) = \frac{1}{6}.$