Question

Найти: cos2a; sin2a; tg2a; ctg2a, если известно, что tga = 3/4 и пит< a < 3пи/2

Answer 1

Для решения данной задачи, мы воспользуемся основными тригонометрическими соотношениями и заменой переменной.

Итак, нам дано, что tg(a) = 3/4 и pi/4 < a < 3pi/2.

Первым делом, мы можем найти sin(a) и cos(a), используя соотношение tg(a) = sin(a)/cos(a).

tg(a) = sin(a)/cos(a)
Подставим значение tg(a) = 3/4 и сократим дробь:
3/4 = sin(a)/cos(a)
cross-multiply:
3cos(a) = 4sin(a)
cos(a)/sin(a) = 4/3 (перенесём все влево и приведём дроби к общему знаменателю)

1/tg(a) = 4/3 (по определению ctg(a))

Теперь мы можем использовать остальные тригонометрические соотношения для нахождения cos(2a), sin(2a), tg(2a), и ctg(2a).

cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)
Используем соотношение cos(a)/sin(a) = 4/3 и найденные значения sin(a) и cos(a):
cos(2a) = (cos^2(a) - sin^2(a)) = (16/9 - 9/16) = (256/144 - 81/144) = 175/144

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
Используем найденные значения sin(a) и cos(a):
sin(2a) = 2sin(a)cos(a) = 2(3/4)(4/3) = 24/12 = 2

tg(2a) = sin(2a)/cos(2a)
Подставим значения sin(2a) и cos(2a):
tg(2a) = (2)/(175/144) = 288/175

ctg(2a) = 1/tg(2a)
Подставим значение tg(2a):
ctg(2a) = 1/(288/175) = 175/288

Итак, получаем ответ:
cos(2a) = 175/144
sin(2a) = 2
tg(2a) = 288/175
ctg(2a) = 175/288