Случай 1. Биссектриса проведена из вершины тупого угла трапеции.
У трапеции, описанной около окружности, сумма боковых сторон равна сумме оснований.
Боковая сторона для равнобокой трапеции АВСД равна:
АВ = (4+16)/2 = 20/2 = 10.
Высота Н трапеции равна:
Н = √(10²-(16-4)/2)²) = √(100-36) = √64 = 8.
Площадь S трапеции равна:
S = ((4+16)/2)*8 = 10*8 = 80.
Так как центр О окружности находится на середине высоты, проходящей через точку О, то точка Е находится на основании АД на расстоянии от высоты, равном половине верхнего основания.
Площадь треугольника АВЕ, отсекаемого от трапеции биссектрисой ВЕ, равна (1/2)*8*((16/2)+(4/2)) = 4*10 = 40.
Отношение равно 40/80 = 1/2.
2 случай - биссектриса АЕ проходит через вершину острого угла.
Продлим боковые стороны трапеции до пересечения в точке К.
Биссектриса АЕ будет и биссектрисой треугольника АКД.
Отрезок ВК находим из подобия треугольников:
ВК/(ВС/2) = АВ/6. ВК = 2*10/6 = 10/3.
Сторона АК = 10 + (10/3) = 40/3.
Находим биссектрису АЕ. Но сначала находим косинус половины угла А.
AO = √(8² + 4²) = √)64 + 16) = √80 = 4√5.
cos (A/2) = 8/(4√5) = 2/√5 = 2√5/5.
Тогда АЕ = (2ab/(a+b))*cos(A/2) = (2*(40/3)*16)/((40/3)+16)*(2/√5) = (1280/88)*(2√5/5) = 64√5/11.
Находим синус половины угла А:
sin(A/2) = √(1-(4/5)) = 1/√5 = √5/5.
Площадь треугольника АКД = (1/2)*АЕ*АД*sin(A/2) =
= (1/2)*(64√5/11)*16*(√5/5) = 512/11.
Отношение площадей равно:
S(AED)/S(ABCD) = (512/11)/80 = 32/55.
2) 22,5*1,6=36 га - третье
3) 27,3+22,5+36=85,8 га - всего