43
Пошаговое объяснение:
Я пишу с телефона, поэтому для удобства пусть
p2 = p^2, p3 = p^3
p3 + 4p2 + 4p = p(p2 + 4p + 4) = p(p + 2)^2
p = 2 не подходит
Поэтому p > 2 => gcd(p, p + 2) = 1
Функция количества делителей мультипликативная, значит нам осталось найти только такое минимальное p, что (p + 2)^2 имеет 15 делителей
При этом 15 = 3 * 5
То есть наше число (p + 2)^2 = a^2 * b^4 для некоторых простых чисел a и b
То есть
p + 2 = a * b^2
то есть p = a * b^2 - 2
для некоторых различных простых чисел a и b
Заметим также, что и a, и b, должны быть нечетными, иначе мы получим, что p тоже четное(чего быть не моет, потому что p - просто большее двух)
Тогда попробуем два минимальных простых а и b
Пусть a = 5, b = 3
Тогда p = 5 * 9 - 2 = 43 - - действительно простое
Легко понять, что с ростом a или b p только увеличивается, и что лучше, чтобы b было меньше a
Значит, p = 43 действительно минимальное такое простое.
