Question

Правильную дробь перевернули. какая из двух дробей ближе к единице: исходная или перевёрнутая?

Answer 1

Пусть a, b ∈ N и a < b.
Составим правильную дробь $\frac{a}{b}$ и перевёрнутую (неправильную) $\frac{b}{a}$.

Узнаем, как далеко от единицы находятся данные дроби. Нам нужно только расстояние, поэтому берём по модулю.
$\Delta a= |1-\frac{a}{b}|$ - правильная дробь
$\Delta b= |1-\frac{b}{a}|$ - неправильная дробь

Сравним полученные расстояния. Для этого найдём отношение расстояния правильной дроби до единицы к расстоянию неправильной дроби до единицы. Если мы получим, что отношение меньше единицы, то правильная дробь ближе к 1, если больше - неправильная дробь ближе к 1, если отношение равно 1 - на одинаковом расстоянии.

$\frac{\Delta a}{\Delta b} = \frac{|1-\frac{a}{b}|}{|1-\frac{b}{a}|} = \frac{|\frac{b-a}{b}|}{|\frac{a-b}{a}|} = \frac{a}{b} \ \textless \ 1$

Итак, отношение получилось меньше 1, т.к. мы приняли a < b. Поэтому, для любых a и b - правильная дробь всегд будет ближе к 1, чем перевёрнутая.