Question

Дан треугольник. внутри него построены четыре окружности равного радиуса r так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех касается двух сторон треугольника. найдите r, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны 5 и 15 соответственно.

Answer 1

 Очень кондовое решение  
Пусть $AB=a \\ BC=b \\ AC=c \\ c=30*sinB\\ a=30*sin(A+B) \\ b=30*sinA \\$
Последнее через теореме синусов  
Тогда , из условию следует что 
$sinB+sin(A+B)+sinA = 6*sinB*sin(A+B)*sinA$  
Это следствие из формулы $S=pr\\ S=\frac{abc}{4R}$     
Теперь , положим что $\angle A= \angle B \\$
Из выше описанной формулы следует что   $A=B=2arctg( \sqrt{\frac{5-\sqrt{12}}{13}} )\\$  
$b=c=5\sqrt{24-6\sqrt{3}} \\ a=10\sqrt{5+2\sqrt{3}}$      
Впишем наш контр пример , в координатную систему $OXY$    
$A(0;0) \\ B(10\sqrt{5+2\sqrt{3}};0)$   
Тогда центры меньших треугольников будут равны 
$O_{A} \ (r \sqrt{5+\sqrt{12}} ; r) \\ O _{B} \ ((\sqr{5+\sqrt{12 })*(10-r) ; r)$
 $O_{N} \ (5 \sqrt{5+\sqrt{12}} ; y) \\ O_{C} \ (5\sqrt{5+\sqrt{12}} ; y+2r)$ 
 Найдем координату $y$   
 Его можно найти   
 Из уравнения 
 $(x-r\sqrt{5+\sqrt{12}}) ^ 2 + (y-r)^2=4r^2 \\ ( (x - \sqrt{5+\sqrt{12}})*(10-r))^2+(y-r)^2=4r^2$           
 Найдя его , затем учитывая что 
 $d( O_{A}O_{N}) = 4r^2$         
 Найдем что $r=3$                                       
 Но задача , видимо решается через так  называемую                       ГОМОТЕТИЮ