Question

Доказать, что функция f(x) и g(x) при x→0 являются бесконечно малыми одного порядка малости

Answer 1

Сначала покажем, что данные функции являются бесконечно малыми:
$\lim_{x \to 0} f(x)=$$\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{2+x} = \lim_{x \to 0} \frac{3*0}{2+0}=0$
$\lim_{x \to 0} g(x)= \lim_{x \to 0} 7x^2= \lim_{x \to 0} 7*0=0$
Теперь найдем предел отношения данных функций:
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{(2+x)7x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{14+7x} = \frac{3}{14+7*0} = \frac{3}{14}$
Мы видим, что предел равен конечному отличному от 0 числу, следовательно данные функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми одного порядка малости при $x \to 0$