Question

Решить log4(x^2-4x+1)-log4(x^2-6x+5)=-1\2

Answer 1

Сперва проверяем область определения:
$x^2-4x+1\ \textgreater \ 0 \\ x\in(-\infty,2-\sqrt3)\cup(2+\sqrt3,\infty)$
$x^2-6x+5=(x-3)(x-2)\ \textgreater \ 0\\ x\in(-\infty,2)\cup(3,\infty)$
Область определения для двух функций ($1\ \textless \ \sqrt3\ \textless \ 2$):
$x\in(-\infty,2-\sqrt3)\cup(2+\sqrt3,\infty)$

Решение уравнения:
Привожу правую сторону к логу:
$-\frac{1}{2}=log_4(4^{-\frac{1}{2}})$
Использую правило $\log a-\log b=\log\frac{a}{b}$ и получаю:
$\log_4(\frac{x^2-4x+1}{x^2-6x+5})=\log_4(\frac{1}{2})\\ \log_4(\frac{x^2-4x+1}{x^2-6x+5}\cdot 2)=0\\ 2\cdot\frac{x^2-4x+1}{x^2-6x+5}=1\\ \frac{x^2-4x+1}{x^2-6x+5}=\frac{1}{2}\\ \frac{x^2-4x+1}{x^2-6x+5}-\frac{1}{2}=0\\ \frac{x^2-2x-3}{2(x-3)(x-2)}=0\\ \frac{(x-3)(x+1}{(x-3)(x-2)}=0$
Из области определения следует, что $x=3$ не может быть ответом.
ответ: $x=-1$