Question

Исследовать ряд на сходимость: ∑_(n=1)^∞▒(n+1) ×〖0.8〗^n

Answer 1

Если я правильно понял - это наш ряд: $\Sigma_{n=1}^\infty(n+1)(0.8)^n$.
Для проверки сходимости подойдёт радикальный признак Коши:
---
Дано $\Sigma_{n=1}^\infty a_n$.
Находим $\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=q$.
Если $q\ \textgreater \ 1$ - ряд расходится
если $q\ \textless \ 1$ - ряд сходится
если $q=1$ - ответа нет (может быть оба варианта для разных рядов, потому ищут другой
---

Решаем:
$\Sigma_{n=1}^\infty(n+1)(0.8)^n\\ \\ \sqrt[n]{(n+1)(0.8)^n}=\sqrt[n]{n+1}\cdot\sqrt[n]{(0.8)^n}\\ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n+1}=1,\ \ \ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{(0.8)^n}=0.8\\ \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{(n+1)(0.8)^n}=1\cdot0.8=0.8$

Последнее равенство следует из арифметики пределов: если пределы существуют, то предел умножения равен умножению пределов.

$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{(n+1)(0.8)^n}=0.8\ \Rightarrow\ \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{(n+1)(0.8)^n}=0.8$
Предел последовательности существует, значит он равен своему верхнему и нижнему пределу.

Получили $0.8\ \textless \ 1\ \Rightarrow\ \Sigma_{n=1}^\infty(n+1)(0.8)^n$
Ряд сходится.