Даны вершины пирамиды: А(2; 7; 9), В(3; 4; 9), С(3; 10; 10), D(4; 5; 8).
Найти:
а) угол ∠DAC.
Для этого надо найти векторы AD и AC.
AD = (4-2; 5-7; 8-9) = (2; -2; -1), модуль равен √(2² + (-2)² + (-1)²) = √9 = 3.
AC = (3-2; 10-7; 10-9) = (1; 3; 1), модуль равен √(1² + 3² + 1²) = √11.
Находим косинус угла между векторами.
cos (AD_AC) = (2*1+(-2)*3+(-1)*1)/(3*√11) = -5/(3√11) ≈ -5/9,9499 = -0,5025.
Угол равен 2,0973 радиан или 120,16679 градуса.
б) площадь грани ABC.
Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения векторов АВ и АС.
Находим вектор АВ:
AВ = (3-2; 4-7; 9-9) = (1; -3; 0).
Вектор АС уже найден: AC = (1; 3; 1).
Их векторное произведение равно:
I j k| I j
1 -3 0| 1 -3
1 3 1| 1 3 = -3i + 0j + 3k - 1j – 0i + 3k = -3i - 1j + 6k.
S = (1/2) √((-3)² + (-1)² + 6²) = (1/2)√9 + 1 + 36) = (1/2)√46 = √46/2 ≈ 3,3912.
в) объем пирамиды.
Объём пирамиды равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов (ABxAC)*AD.
Произведение векторов (ABxAC) найдено выше и равно (-3; - 1; 6).
Находим вектор AD = (4-2; 5-7; 8-9) = (2; -2; -1),
(ABxAC) = -3 -1 6
AD = 2 -2 -1
-6 + 2 + -6 = -10.
V = (1/6)*|-10| = 10/6 = 5/3.
Пошаговое объяснение:
Будем изображать победу Малыша в виде белого шара, а победу оппонентов в виде красного. Расположим эти шары по кругу, всего 469+35=504 шара. Среди них один укажем случайно, и с него начнём читать цвета шаров по часовой стрелке. Ясно, что этим моделируется случайная расстановка 469 белых и 35 красных шаров. Надо найти число удачных шаров (заведомо белых). Это означает, что если с них начать отсчёт, то баланс всегда будет в пользу Малыша.
Заменим красный шар на 8 чёрных. Теперь получается 469 белых шара против 280 чёрных, и разность составляет 189. В задаче по ссылке показано, что именно это количество белых шаров оказываются удачными. Таково же оно и в ситуации с белыми и красными шарами.
Остаётся разделить 189 = 9 * 21 на 504 = 9 * 56, что после сокращения даёт 3/8. Видно, что числа тут подобраны не кое-как.
;)