Найти сумму целых решений неравенства:|x+2|*(x²+3x-4)<0
Решение: Рассмотрим первый множитель произведения левой части неравенства |x+2|≥0 для всех значений х∈R х+2=0 при х=-2 Следовательно при х=-2 неравенство не имеет смысла. Поэтому можно записать, что x² + 3x - 4 < 0 Решим неравенство по методу интервалов. Разложим квадратный трехчлен на множителя решив квадратное уравнение x² + 3x - 4 = 0 D =3²-4*(-4) = 9 + 16 = 25 х₁=(-3-5)/2=-4 х₂=(-3+5)/2=1 Поэтому x² + 3x - 4 =(х+4)(x-1) Заново запишем неравенство (х + 4)(x - 1) < 0 На числовой прямой отобразим точки где левая часть неравенства меняет свои знаки. По методу подстановки определим знаки левой части неравенства и отобразим их на числовой прямой. Например при х=0 (х + 4)(x - 1)=4*(-1)=-4<0
+ 0 - 0 + !! -4 1 Следовательно x² + 3x - 4 < 0 при х∈(-4;1) Учитывая что х≠-2 можно записать что исходное неравенство |x+2|*(x²+3x-4)<0 истинно для всех значений х∈(-4;-2)U(-2;1). Целых решений неравенства три: -3; -1; 0. Сумма целых решений неравенства равна 0 - 1 - 3 = -4
2a*x^2 - 2x + (-3a-2) = 0 Во-первых, отметим, что при а = 0 уравнение станет линейным: -2x - 2 = 0; x = -1 - имеет единственный корень. Поэтому a ≠ 0.
Теперь решаем, как обычное квадратное уравнение. D/4 = 1 - 2a(-3a-2) = 6a^2 + 4a + 1 > 0 при любом а. Теперь находим x: x1 = (1 - √(6a^2+4a+1))/(2a) x2 = (1 + √(6a^2+4a+1))/(2a) Один корень должен быть больше 1, а другой меньше 1. Возможные варианты:
Если a < 0, то { 1 - √(6a^2+4a+1) - 2a < 0 { 1 + √(6a^2+4a+1) - 2a > 0 Переносим корень отдельно { √(6a^2+4a+1) > 1 - 2a { √(6a^2+4a+1) > 2a - 1 Заметим, что при a < 0 будет 1 - 2a > 0; 2a - 1 < 0 Так как корень арифметический, то 2 неравенство верно при любом a < 0. 1 неравенство возводим в квадрат 6a^2 + 4a + 1 > 1 - 4a + 4a^2 Приводим подобные 2a^2 + 8a > 0 2a(a + 4) > 0 a < 0, поэтому a < -4
Если a > 0, то { 1 - √(6a^2+4a+1) - 2a > 0 { 1 + √(6a^2+4a+1) - 2a < 0 Переносим корень отдельно { √(6a^2+4a+1) < 1 - 2a { √(6a^2+4a+1) < 2a - 1 Если a ∈ (0; 1/2), то 2a - 1 < 0, тогда 2 неравенство решений не имеет. Если a > 1/2, то 1 - 2a < 0, тогда 1 неравенство решений не имеет. Если a = 1/2, то оба неравенства решений не имеют. √(6a^2+4a+1) < 0 Решений нет
Если a < 0, то { 1 - √(6a^2+4a+1) - 2a > 0 { 1 + √(6a^2+4a+1) - 2a < 0 Переносим корень отдельно Заметим, что при a < 0 будет 1 - 2a > 0; 2a - 1 < 0 { √(6a^2+4a+1) < 1 - 2a { √(6a^2+4a+1) < 0 2 неравенство решений не имеет Решений нет.
Если a > 0, то { 1 - √(6a^2+4a+1) - 2a < 0 { 1 + √(6a^2+4a+1) - 2a > 0 Переносим корень отдельно { √(6a^2+4a+1) > 1 - 2a { √(6a^2+4a+1) > 2a - 1
Если a ∈ (0; 1/2), то 2a - 1 < 0, 2 неравенство верно при любом a > 0 1 неравенство возводим в квадрат 6a^2 + 4a + 1 > 1 - 4a + 4a^2 2a^2 + 8a > 0 - Это верно при любом a > 0. Значит, a ∈ (0; 1/2)
Если a > 1/2, то 1 - 2a < 0, 1 неравенство верно при любом a > 0 2 неравенство возводим в квадрат. 6a^2 + 4a + 1 > 4a^2 - 4a + 1 2a^2 + 8a > 0 - Это верно при любом a > 0 Значит, a > 1/2
Если a = 1/2, то оба неравенства верны: √(6a^2+4a+1) > 0
-(120-z)=6700-7035
-(120-z)=-335
z=120-335
z=-215
(32+х)-59=453
32+х=453+59
32+х=512
х=512-32
х=480