Пошаговое объяснение:
С второй производной можно провести гораздо большее исследование, что и сделаем -
ДАНО:Y(x) = -2*x³ + 3*x².
ИССЛЕДОВАНИЕ.
1. Область определения D(y) ∈ R, Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая.
2. Вертикальная асимптота - нет - нет разрывов.
3. Наклонная асимптота - y = k*x+b.
k = lim(+∞) Y(x)/x = +∞ - нет наклонной (горизонтальной) асимптоты.
4. Периода - нет - не тригонометрическая функция.
5. Пересечение с осью OХ.
Применим теорему Безу. х₁ *х₂ *х₃ = 0
Разложим многочлен на множители. Y=(x-0)*(x-0)*(x-1,5)
Нули функции: Х₁ =0, Х₂ =0, Х₃ =1,5
6. Интервалы знакопостоянства.
Положительная - Y(x)>0 X∈(-∞;0]U[0;1,5]
Отрицательная - Y(x)<0 X∈[0;[1,5;+∞)
7. Пересечение с осью OY. Y(0) = 0
8. Исследование на чётность.
В полиноме есть и чётные и нечётные степени - функция общего вида.
Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x) - не нечётная,
Функция ни чётная, ни нечётная.
9. Первая производная. Y'(x) = -6*x² + 6*x = - 6*х*(х -1) 0
Корни Y'(x)=0. Х₄ =1 Х₅=0
Там где производная отрицательна (вне корней производной) - функция убывает.
10. Локальные экстремумы.
Максимум - Ymax(X₄= 1) =1. Минимум - Ymin(X₅ = 0) =0
11. Интервалы возрастания и убывания.
Убывает Х∈(-∞;0;]U[1;+∞) ,возрастает - Х∈[0;1]
12. Вторая производная - Y"(x) = -12*x + 6 = 0
Корень производной - точка перегиба Х₆=0,5
13. Выпуклая “горка» Х∈(Х₆ = [0,5;+∞)
Вогнутая – «ложка» Х∈[-∞;Х₆ = 0,5).
14. График в приложении.
