Question

Построить график функции y= ln x/x-1

Answer 1

Исследование функции - это большая и сложная задача
y = ln x / (x-1)
1) Область определения
{ x > 0
{ x =/= 1
x = (0; 1) U (1; +oo)
2) Нули функции
y(0) - не определен
y = 0; ln x = 0; x = 1 - не определен.
Пересечений с осями нет
3) Промежутки постоянства знаков.
При 0 < x < 1 будет ln x < 0, x - 1 < 0, y > 0.
При x > 1 будет ln x > 0, x - 1 > 0, y > 0
y > 0 при всех х, принадлежащих области определения.
4) Не четная и не нечетная. Не периодическая
5) Непрерывность на отрезках 0 < x < 1 и x > 1.
Вертикальная асимптота x = 0. В точке x = 1 устранимый разрыв
lim(x->1-0) = lim(x->1+0) = 1
6) Производная $y ' = \frac{(x-1)/x-ln x}{(x-1)^2} = \frac{x-1-xlnx}{x(x-1)^2}=0$
$x-1-xlnx=0$
7) Решений нет, экстремумов нет.
8) Монотонность. Функция убывает на всей области определения.
9) Вторая производная
$y''= \frac{(1-lnx-1)x(x-1)^2 - (x-1-xlnx)((x-1)^2+x*2(x-1))}{x^2(x-1)^4} =0$
10) Корней нет, точек перегиба нет
11) Горизонтальная асимптота $\lim_{x \to \infty} \frac{lnx}{x-1} =0$
y = 0, то есть ось Ох.