Вероятность появления опечатки на странице книги, содержащей 100 страниц, равна 0,03. найти вероятность того, что в книге имеется не более двух опечаток: 1. по точной биномиальной формуле. 2. по приближённой формуле пуассона.
В данной задаче мы имеем дело с биномиальным распределением, где вероятность появления определенного события (опечатки) на странице книги p = 0.03, количество испытаний (количество страниц в книге) n = 100 и мы должны найти вероятность того, что в книге имеется не более двух опечаток.
Для решения этой задачи мы можем использовать вероятность отсутствия опечаток (т.е. P(X = 0)), вероятность одной опечатки (P(X = 1)) и вероятность двух опечаток (P(X = 2)). Затем мы сложим эти вероятности, чтобы получить искомую вероятность.
Теперь мы можем сложить эти вероятности, чтобы получить искомую вероятность:
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
P(X ≤ 2) ≈ 0.7408182 + 0.2567066 + 0.3944595 ≈ 1.3919843
Однако в случае биномиального распределения вероятность не может быть больше 1. Поэтому искомая вероятность равна 1.
Ответ: Вероятность того, что в книге имеется не более двух опечаток равна 1.
2. Решение по приближенной формуле Пуассона:
Пуассоновское распределение можно использовать для приближенного решения задачи, когда количество испытаний (страниц в книге) очень велико, а вероятность появления события (опечатки) очень мала, как в данном случае.
Формула Пуассона для расчета вероятности события, X, при данном λ (среднем числе событий), дано n испытаний (страницы в книге):
P(X) = (e^(-λ) * λ^n) / n!
В нашем случае, мы можем использовать среднее число событий (λ) как λ = n * p, где n = 100 (количество страниц), а p = 0.03 (вероятность опечатки на одной странице).
В данной задаче мы имеем дело с биномиальным распределением, где вероятность появления определенного события (опечатки) на странице книги p = 0.03, количество испытаний (количество страниц в книге) n = 100 и мы должны найти вероятность того, что в книге имеется не более двух опечаток.
Для решения этой задачи мы можем использовать вероятность отсутствия опечаток (т.е. P(X = 0)), вероятность одной опечатки (P(X = 1)) и вероятность двух опечаток (P(X = 2)). Затем мы сложим эти вероятности, чтобы получить искомую вероятность.
Посмотрим на каждый шаг:
Вероятность отсутствия опечаток: P(X = 0) = (1 - p)^n
В нашем случае: P(X = 0) = (1 - 0.03)^100 = 0.7408182
Вероятность одной опечатки: P(X = 1) = C(n, 1) * p * (1 - p)^(n - 1)
Где C(n, 1) - количество сочетаний из n по 1.
В нашем случае: P(X = 1) = C(100, 1) * 0.03 * (1 - 0.03)^(100 - 1) ≈ 0.2567066
Вероятность двух опечаток: P(X = 2) = C(n, 2) * p^2 * (1 - p)^(n - 2)
В нашем случае: P(X = 2) = C(100, 2) * (0.03)^2 * (1 - 0.03)^(100 - 2) ≈ 0.3944595
Теперь мы можем сложить эти вероятности, чтобы получить искомую вероятность:
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
P(X ≤ 2) ≈ 0.7408182 + 0.2567066 + 0.3944595 ≈ 1.3919843
Однако в случае биномиального распределения вероятность не может быть больше 1. Поэтому искомая вероятность равна 1.
Ответ: Вероятность того, что в книге имеется не более двух опечаток равна 1.
2. Решение по приближенной формуле Пуассона:
Пуассоновское распределение можно использовать для приближенного решения задачи, когда количество испытаний (страниц в книге) очень велико, а вероятность появления события (опечатки) очень мала, как в данном случае.
Формула Пуассона для расчета вероятности события, X, при данном λ (среднем числе событий), дано n испытаний (страницы в книге):
P(X) = (e^(-λ) * λ^n) / n!
В нашем случае, мы можем использовать среднее число событий (λ) как λ = n * p, где n = 100 (количество страниц), а p = 0.03 (вероятность опечатки на одной странице).
Теперь мы можем рассчитать искомую вероятность:
λ = n * p = 100 * 0.03 = 3
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
P(X ≤ 2) = (e^(-3) * 3^0) / 0! + (e^(-3) * 3^1) / 1! + (e^(-3) * 3^2) / 2!
P(X ≤ 2) ≈ 0.049787 + 0.149361 + 0.224042 ≈ 0.42319
Ответ: Приближенная вероятность того, что в книге имеется не более двух опечаток, составляет около 0.42319.