Question

Найти ось симметрии графика функции у=(х-3)^4+2*(x-3)^2+5 (не выполняя построений)

Answer 1

Определяем: $x-3=:\alpha$ и подставляем в функцию. Получаем:
$f(\alpha)=\alpha^4+2\alpha^2+5$
Предположение: $f(\alpha)$ - чётная функция.
Доказательство:
$f(-\alpha)=(-\alpha)^4+2(-\alpha)^2+5=(-1)^4\alpha^4+2(-1)^2\alpha^2+5=\\ =\alpha^4+2\alpha^2+5=f(\alpha)$
Получили $f(-\alpha)=f(\alpha)$, следовательно - чётная.

Ось симметрии любой чётной функции - ось $Y$, в нашем случае: $\alpha=0$

Обратно подставляем $x$, чтоб найти ось симметрии по $x$:
$x-3=\alpha=0\ \Rightarrow \ x-3=0\ \Rightarrow\ x=3$
Ось симметрии функции $f(x)=(x-3)^4+2(x-3)^2+5$ - это $x=3$.