Question

Провести полное исследование и построить графики функций y=2x^3+3x^2-12x+7

Answer 1

$y=2x^3+3x^2-12x+7$

1. Область определения и область значений

$\mathbb{D}(f)=\mathbb{R}; \ \mathbb{E}(f)=\mathbb{R}$

2. Четность

$f(-x)=2(-x)^3+3(-x)^2-12(-x)+7=-2x^3+3x^2+12x+7\\ f(-x) \neq -f(x); \ f(-x) \neq f(x)$

Функция не является ни четной, ни нечетной

3. Так как функция непрерывна на $\mathbb{R}$, то вертикальных асимптот нет.

$k= \lim_{n \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}= \frac{2x^3+3x^2-12x+7}{x}= \\\\\lim_{n \to \pm \infty} \frac{2(\pm \infty)^3+3(\pm \infty)^2-12(\pm \infty)+7}{\pm \infty}=\infty$
Наклонных асимптот нет

Необходимо выяснить, как ведет себя функция на бесконечности:

$\lim_{n \to \pm \infty} f(x)=\lim_{n \to \pm \infty} (2x^3+3x^2-12x+7)=\pm \infty$

Если идем вправо, то график уходит далеко вверх, если идем влево, то график уходит далеко вниз

4. Нули функции и интервалы

С осью ординат:

$y=f(0)=2\cdot 0^3+3\cdot0^2-12 \cdot0+7=7$

C осью абсцисс:

$2x^3+3x^2-12x+7=0\\ (x-1)(2x^2+5x-7)=0\\\\ x-1=0\\ x=1\\\\ 2x^2+5x+7=0\\ D=25+56=81; \sqrt{D}=9\\ x_{1/2}=\frac{-5\pm9}{4}\\ x_1=1\\ x_2=- \frac{7}{2}\\\\$

$(-\infty; - \frac{7}{2})$ - ниже оси ОХ
$(- \frac{7}{2};1) \cup (1; +\infty)$ - выше оси ОХ

5. Возрастание и убывание функции, экстремумы

$f'(x)=(2x^3+3x^2-12x+7)'=6x^2+6x-12\\\\ 6x^2+6x-12=0\\x^2+x-2=0\\ D=1+8=9; \sqrt{D}=3\\\\ x_{1/2}= \frac{-1\pm 3}{2}\\ x_1=-2\\x_2=1$

$(-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$ - возрастает
$(-2;1)$ - убывает

Подставляем значения в функцию, чтобы определить точки максимума-минимума

$2(-2)^3+3^(-2)^2-12(-2)+7=27 \ \ A(-2; 27)\\ 2 \cdot (1)^3+3 \cdot 1^2-12 \cdot 1+7=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B(1;0)$

В точке А - максимум, в точке В - минимум

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба

$f''(x)=(6x+6x-12)'=12x+6\\\\ 12x+6=0\\2x=-1\\x=- \frac{1}{2}$

$(-\infty; - \frac{1}{2})$ - выпуклость
$(- \frac{1}{2}; +\infty)$ - вогнутость

Подставляем в функцию:

$2\cdot (-\frac{1}{2})^3+3(- \frac{1}{2})^2-12(- \frac{1}{2})+7= \frac{27}{2}=13,5\ \ C( -\frac{1}{2}; 13,5)$

Точка С - точка перегиба

7. График прилагается