Для решения этой задачи нам нужно найти значение х, при котором расстояние между точками С(3;2) и D(х;-1) будет равно 5.
Для начала, давайте вспомним формулу расстояния между двумя точками на плоскости. Формула выглядит следующим образом:
d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²),
где d - расстояние между двумя точками, (x1, y1) и (x2, y2) - координаты этих точек.
В нашем случае, (x1, y1) = (3, 2) и (x2, y2) = (х, -1). Подставим эти значения в формулу:
5 = √((х - 3)² + (-1 - 2)²).
Теперь, давайте разложим это уравнение на более простые части и решим его шаг за шагом.
Сначала возведем разности в квадрат:
5 = √((х² - 6х + 9) + 9).
Затем упростим выражение внутри квадратного корня, сложив числа в скобках:
5 = √(х² - 6х + 18).
Теперь избавимся от квадратного корня с обеих сторон уравнения. Возводим обе части уравнения в квадрат:
5² = (х² - 6х + 18).
Упростим это уравнение:
25 = х² - 6х + 18.
Теперь приведем уравнение к форме квадратного трехчлена:
х² - 6х + 18 - 25 = 0.
Сократим:
х² - 6х - 7 = 0.
Данное уравнение уже приведено к форме квадратного трехчлена. Теперь нам нужно решить его с помощью факторизации, раскладывая его на два линейных множителя.
Мы ищем два числа, которые при умножении дают 7 и при сложении дают -6. Заметим, что это числа -7 и 1:
(х - 7)(х + 1) = 0.
Таким образом, у нас есть два возможных значения для х: х - 7 = 0 или х + 1 = 0.
Решим каждое уравнение по отдельности:
х - 7 = 0:
х = 7.
х + 1 = 0:
х = -1.
Итак, получили два значения для х - 7 и -1. Подставим оба значения обратно в исходное уравнение и проверим, когда растояние между точками C(3;2) и D(х;-1) будет равно 5:
1) При х = 7:
Подставим х = 7 в формулу:
d = √((7 - 3)² + (-1 - 2)²),
d = √(4² + (-3)²),
d = √(16 + 9),
d = √25,
d = 5.
2) При х = -1:
Подставим х = -1 в формулу:
d = √((-1 - 3)² + (-1 - 2)²),
d = √((-4)² + (-3)²),
d = √(16 + 9),
d = √25,
d = 5.
Таким образом, получаем, что при значениях х, равных 7 и -1, расстояние между точками C(3;2) и D(х;-1) будет равно 5.
а) Если трапеция равнобедренная, это означает, что ее основания (боковые стороны) равны, а другие две стороны неравны. Пусть основание трапеции равно 12 см. Так как трапеция равнобедренная, то ее другое основание также равно 12 см. Пусть угол, который равен 65°, является углом между этими двумя основаниями.
Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то другие два угла трапеции будут равными. Пусть каждый из этих углов равен х°. Таким образом, у нас есть следующая система уравнений:
Ответ: В равнобедренной трапеции один угол равен 65°, а два других угла равны 57,5°.
б) Если трапеция прямоугольная, это означает, что один из углов трапеции равен 90°. Пусть угол, который равен 65°, является углом между одним из оснований трапеции и одной из боковых сторон.
Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то другие два угла трапеции будут равными. Пусть каждый из этих углов равен х°. Таким образом, у нас есть следующая система уравнений:
Ответ: В прямоугольной трапеции один угол равен 65°, а два других угла равны 12,5°.
2. Решение:
Средняя линия трапеции является средним арифметическим оснований трапеции. Таким образом, длина средней линии равна сумме длин оснований, разделенной на 2.
Длина средней линии = (длина первого основания + длина второго основания) / 2
= (12 см + 28 см) / 2
= 40 см / 2
= 20 см
Ответ: Длина средней линии трапеции равна 20 см.
3. Решение:
Средняя линия трапеции является средним арифметическим оснований трапеции. Таким образом, длина средней линии равна сумме длин оснований, разделенной на 2.
Длина первого основания = 14 см
Длина второго основания = неизвестно
Длина средней линии = (длина первого основания + длина второго основания) / 2
Подставим известные значения и найдем неизвестную:
12 см = (14 см + длина второго основания) / 2
Умножим обе части уравнения на 2:
24 см = 14 см + длина второго основания
Вычтем 14 см с обеих сторон:
10 см = длина второго основания
Ответ: Неизвестное основание трапеции равно 10 см.
4. Решение:
В равнобедренной трапеции средняя линия параллельна основаниям и делит их пополам. Пусть длины оснований равны 12 см и 18 см. Тогда длина средней линии равна среднему арифметическому этих двух длин.
Длина средней линии = (длина первого основания + длина второго основания) / 2
= (12 см + 18 см) / 2
= 30 см / 2
= 15 см
Диагональ трапеции соединяет вершины противоположных углов. Ее длина может быть найдена с использованием теоремы Пифагора:
Длина диагонали = √(разность квадратов половины основания и средней линии)
= √((18/2)^2 - 15^2)
= √(9^2 - 15^2)
= √(81 - 225)
= √(-144)
Ответ: Длина отрезков, на которые средняя линия делится диагональю трапеции, не определена, так как вычисление привело к отрицательному значению под корнем.
5. Решение:
Если трапеция изображена на рисунке, необходимая информация, чтобы найти площадь трапеции - это меры ее оснований (основаниями являются две пары параллельных сторон) и высота, перпендикулярная основаниям.
Длина первого основания = 11 см
Длина второго основания = 24 см
Высота трапеции = 8 см
Площадь трапеции можно найти, используя формулу:
Площадь = (сумма оснований * высота) / 2
Подставим известные значения:
Площадь = (11 см + 24 см) * 8 см / 2
= 35 см * 8 см / 2
= 280 см² / 2
= 140 см²
Ответ: Площадь трапеции, изображенной на рисунке, равна 140 см².
