Поместим куб в прямоугольную систему координат вершиной В в начало, ВА - по оси Ох, ВС - по оси Оу.
Примем длину ребра за 1.
Определим координаты трёх точек для составления уравнений плоскостей.
В(0; 0; 0), Д(1; 1; 0), К(0; 1; 0,5).
А(1; 0; 0), В1(0; 0; 1), С1(0; 1; 1).
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно. Тогда уравнение плоскости определяется по следующей формуле: (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Подставив координаты точек, получаем уравнения плоскостей.
ВДК: x - y + 2x = 0.
АВ1С1: x + z - 1 = 0.
Угол между плоскостями определяем через его косинус, который находится по формуле:
|A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|
cos α =
√(A1² + B1² + C1²)*√(A2² + B2² + C2²) .
Подставив значения коэффициентов, получаем ответ:
cos α = 0,866025404
α = 0,523598776 радиан = 30 °.
Пусть в 1 группе фр. язык изучают х человек, тогда во 2 группе фр. язык изучают 3х человек.
Пусть во 2 группе изучают англ. язык у человек, тогда в 1 групе англ. яз. изучают 4у человек.
Так как 5 человек в каждой из групп изучают одновременно англ. яз. и фр. яз. , и они уже учтены в 1 группе в "х" и "4у", а во 2 группе - в "3х" и "у" , то
общее количество студентов в 1 группе равно (х+4у-5) человек, а во 2 группе - (3х+у-5) человек.
В группах по условию учится равное количество человек ⇒ составим равенство (х+4у-5)=(3х+у-5) , х+4у=3х+у , 4у-у=3х-х , 3у=2х .
Число 2х - чётное ⇒ 3у - тоже должно быть чётным, но т.к. 3 на 2 не делится, то на 2 делится "у", то есть у - чётное число.
Учтём, что у≥5, т.к. если два языка учат 5 человек, то англ.яз. изучают как минимум 5 человек. ⇒ минимальное значение у=6 ( у≥5 и у - чётное).
Из равенства 3у=2х следует, что х=3у/2=(3·6)/2=9.
Тогда , всего в одной группе учатся х+4у-5=9+4·6-5=9+24-5=28
(или 3х+у-5=3·9+6-5=28) .
ответ: 28.
