Плоскость α, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках А₁ и С₁ соответственно. Найдите отрезок А₁С₁, если АС = 18 см и АА₁:А₁В = 7:5.
7,5 см
Объяснение:
Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Плоскость (АВС) проходит через прямую АС║α, значит плоскость (АВС) пересекает плоскость α по прямой, параллельной АС.
А₁С₁║АС.
Прямая, параллельная одной из сторон треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному, значит
ΔА₁ВС₁ ~ ΔАВС
По условию
то есть АА₁ составляет 7 частей, а А₁В - 5 частей, тогда АВ составляет 12 частей.
см
В г находим общий знаменатель - 42
Поэтому числители домножаем, и получаем 16 15
_ > _
42 42
В д тоже самое. общий знаменатель 80
Домножаем числители и получаем 36 35
_ > _
80 80
Из задания изначально не известно, где именно лежит точка М на стороне АС. Но при этом сказано, что углы АКМ=СNМ. Фигура MkBn является ромбом, т.к. kB = Bn из условия (Точки k и n середины сторон АВ и ВС). Если провести прямую kn, то угол knB тождественен углу ACB = 72 градуса.Угол Bkn тоже тождествен углу BAC = 72 градуса. Следовательно, треугольник kBn тождествен треугольнику ABC, который является равнобедренным.
Далее, угол AB = AkM+ MkN+nkB. Или 180 + x + y +72
Угол BC = MnC + Mnk + knB. Или 180 + z + r + 72
Можно записать, что x + y +72 = z + r + 72 = 180. По условию сказано, что АКМ=СNМ, значит x = z. Тогда можно утверждать, что x+y+72 = x+r+72.
x-x+y = r+72-72. Отсюда y=r. Поскольку я принял, что у это MkN, а r = Mnk, то фигура MkBn -ромб с углами 36 градусов и 360-(2*36)/2 = 144 градуса.
Поскольку это ромб, то kn перпендикулярно BM. Учитывая, что треугольники подобны, то BM перпендикулярно AC и является биссектрисой и высотой. Угол AMB и BMC = 90, угол MAB = 72, угол ABM = 180-90-72 = 18 градусов.
ответ: ABM= 18 градусов, BMC = 90 градусов.
Очень много времени ушло на доказательство, что точка M лежит посередине AC. В принципе, это выткало из равенства углов АКМ и СNМ