Даны координаты пирамиды: A1(1,8,2), A2(5,2,6), A3(5,7,4), A4(4,10,9). 1) Координаты векторов. Координаты векторов находим по формуле: X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj; Для вектора A1A2 X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1 X = 5-1; Y = 2-8; Z = 6-2 A1A2 (AB)(4;-6;4) A1A4 (AD)(3;2;7)
Угол между ребрами. Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле: где a1*a2 = X1*X2 + Y1*Y2 + Z1*Z2. Найдем угол между ребрами A1A2(4;-6;4) и A1A4(3;2;7): cosα = (4*3+(-6)*2+4*7)/(√68*√62) = 0,431. α = arccos(0.431) = 64,4560°.
2) Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения: Найдём вектор A1A3 (АС)(4;-1;2), его модуль равен √(16+2+4) = √21 ≈ 4,583. Векторное произведение: i j k 4 -6 4 4 -1 2= =i((-6)*2-(-1)*4) - j(4*2-4*4) + k(4(-1)-4(-6)) = -8i + 8j + 20k S=(1/2)*|A1A2→⋅A1A3→|=(1/2)*|−8i+8j+20k|=(1/2)*√(8²+8²+20²) =(1/2)√528 ≈ 11,489.
3) Объем пирамиды равен: (AB{x1, y1, z1} ; AC{x2, y2, z2} ; AS{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3. Сначала используем найденное векторное произведение АВ*АС: (AB)(4;-6;4)*(АС)(4;-1;2) = x y z AB*AC: -8 8 20, затем умножаем на вектор АД: АВ*АС*АД = |(-8)*3+8*2+20*7| = 132. Объём V пирамиды равен: V = (1/6)*(АВ*АС*АД) = (1/6)*132 = 20 куб.ед.
4) Длина высоты Н, проведенной из вершины D на основание АВС, равно: Н = 6*V/(S(ABC)) = 6*22/((1/2)√528) = 5,744563.
5) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C. Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением: x-x1 y-y1 z-z1 x2-x1 y2-y1 z2-z1 x3-x1 y3-y1 z3-z1= 0 Уравнение плоскости A1A2A3 (ABC) x-1 y-8 z-2 4 -6 4 4 -1 2 = 0 (x-1)((-6)*2-(-1)*4) - (y-8)(4*2-4*4) + (z-2)(4(-1)-4(-6)) = -8x + 8y + 20z-96 = 0 Упростим выражение: -2x + 2y + 5z - 24 = 0. Можно умножить на -1, чтобы коэффициент при х был положительным: АВС: 2х - 2у - 5z + 24 = 0.
Решение смотрите в разделе "Пошаговое объяснение".
Пошаговое объяснение:
Взаимно простые числа - это числа, наибольший общий делитель которых равен единице.
1) 4 и 12 не являются взаимно простыми числами, так как их наибольший общий делитель ≠ 1.
НОД (4; 12) = 2 · 2 = 2² = 4
4 = 2 · 2 = 2²
12 = 2 · 2 · 3 = 2² · 3
Перемножаем общие множители обоих чисел и получаем ответ.
Таким образом, числа 4 и 12 не являются взаимно простыми.
2) 4 и 15 являются взаимно простыми числами, так как их наибольший общий делитель = 1.
НОД (4; 15) = 1
4 = 2 · 2 = 2²
15 = 5 · 3
Перемножаем общие множители обоих чисел и получаем ответ.
Таким образом, числа 4 и 15 являются взаимно простыми.
3) 6 и 22 не являются взаимно простыми числами, так как их наибольший общий делитель ≠ 1.
НОД (6; 22) = 2
6 = 2 · 3
22 = 2 · 11
Перемножаем общие множители обоих чисел и получаем ответ.
Таким образом, числа 6 и 22 не являются взаимно простыми.
4) 15 и 100 не являются взаимно простыми числами, так как их наибольший общий делитель ≠ 1.
НОД (15; 100) = 5
15 = 3 · 5
100 = 2 · 2 · 5 · 5 = 2² · 5²
Перемножаем общие множители обоих чисел и получаем ответ.
Таким образом, числа 15 и 100 не являются взаимно простыми.
5) 9 и 18 не являются взаимно простыми числами, так как их наибольший общий делитель ≠ 1.
НОД (9; 18) = 3 · 3 = 3² = 9
9 = 3 · 3 = 3²
18 = 2 · 3 · 3 = 2 · 3²
Перемножаем общие множители обоих чисел и получаем ответ.
Таким образом, числа 9 и 18 не являются взаимно простыми.
1) 16 и 25 являются взаимно простыми числами, так как их наибольший общий делитель = 1.
НОД (16; 25) = 1
16 = 2 · 2 · 2 · 2 = 2⁴
25 = 5 · 5 = 5²
Перемножаем общие множители обоих чисел и получаем ответ.
Таким образом, числа 16 и 25 являются взаимно простыми.