В правильной пирамиде медиана боковой грани к основанию - это апофема А.
Сторона основания а и основание боковой грани а равны по 1.
Находим апофему: A = 2S/a = 2*1/1 = 2.
По свойству медиан точка М делит апофему в отношении 2:1 от вершины. SM = (2/3)*2 = 4/3, МК = (1/3)*2 = 2/3.
Находим высоту пирамиды: H = √(2² - (1/2)²) = √15/2.
Находим косинус и синус угла α между основанием пирамиды и боковой гранью.
cos α = (1/2)/2 = 1/4, sin α = (√15/2)/2 = √15/4.
Косинус угла при вершине пирамиды (назовём его S) равен:
cos S = (22 + 22 – 12)/(2*2*2) = 7/8, синус равен √(1 – (49/64)) = √15/8.
Проведём два осевых сечения пирамиды перпендикулярно смежным сторонам основания и спроецируем на эти плоскости точки M и N (они даны на прилагаемых рисунках).
Расстояния от точек М и N до граней пирамиды обозначим буквой h.
До основания: h(М) = (1/3) H = (1/3)*(√15/2) = √15/6.
h(N) = (3/7) hM = (3/7)*(√15/6) = √15/14.
До грани, содержащую точку М, и противоположную ей.
Высота h2 = SM*sin S = (4/3)*(√15/8) = √15/6.
h1 = (3/7) h2 = (3/7)*(√15/6) = √15/14.
Высота h4 = a*sin α = 1*(√15/4) = √15/4.
h3 = (4/7) h4 = (4/7)*(√15/4) = √15/7.
Рассмотрим второе сечение.
Высота h6 = SM3*sin (S/2) = (2/3)*H*((1/2)/2) = (2/3)*(√15/2)*(1/4) = √15/12.
h5 = (3/7) h6 = (3/7)*(√15/12) = √15/28.
Высота h8 = a*sin α = 1*(√15/4) = √15/4.
Для определения высоты h7 найдём угол φ.
φ = arc tg(M3O/(a/2)) – (90º - arc sin α) = arc tg((√15/6)/(1/2)) – arc sin(√15/4) = arc tg((√15/3) – arc sin(√15/4) = 52,23875609º – (90º - 75,52248781º) =
= 37,76124391º.
cos φ = 0,790569.
Найдём длину проекции отрезка АМ на секущую плоскость SEK по теореме косинусов: AM = √(12 + (2/3)² - 2*1*(2/3)*(1/4)) = √(1 + (4/9) – (1/3)) = √10/3.
Тогда AN = (3/7)AM = (3/7)*( √10/3) = √10/7.
Отсюда h7 = h8 – AN*cos φ = √15/4 – (√15/7)*0,790569 = 0,691604.
Сложим длины всех заданных высот:
Σh = (√15/14) + (√15/14) + (√15/7) + (√15/28) + 0,691604 = 1,936492.
математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика
математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика математика
Пошаговое объяснение: