Задані координати вершин трикутника АВС: А(-8;4), В(4;-1), С(7;3).
Знайти:
1) довжину і рівняння сторони ВС.
Вектор ВС = (7-4; 3 –(-1)) = (3; 4).
Модуль (длина) равен √(3² + 4²) = √25 = 5.
Определяем уравнение стороны ВС.
ВС: (x - 4)/3 = (y + 1)/4 каноническое,
4x - 3y - 19 = 0 общее,
y = (4/3)x – (19/3) с угловым коэффициентом.
2) площу трикутника АВС.
Она равна половине модуля векторного произведения векторов ВА и ВС.
Находим ВА = (-8-4; 4 –(-1)) = (-12; 5).
Модуль равен √(-12)² + 5²) = √169 = 13.
Находим векторное произведение ВА и ВС с применением схемы Саррюса.
BAxBC = I j k| I j
-12 5 0| -12 5
3 4 0| 3 4 = 0i + 0j – 48k – 0j – 0i -15k = (0; 0; -63).
S(ABC) = (1/2)√(0² + 0² + (-63)²) = (1/2)*63 = 63/2 = 31,5 кв. ед.
3) рівняння висоти на сторону ВС.
В уравнении высоты AD как перпендикуляра к прямой ВС, общее уравнение которой Ах + Ву + С = 0, коэффициенты А и В меняются на –В и А (из условия, что их скалярное произведение равно 0).
Получаем уравнение AD: 3x + 4y + C = 0. Для определения слагаемого С подставим в уравнение координаты точки А: 3*(-8) + 4*4 + С = 0. Отсюда находим С = 24 – 16 = 8.
Уравнение высоты AD на сторону ВС: 3x + 4y + 8 = 0.
4) кут В в радіанах з точністю до 0,01.
Находим по косинусу угла между векторами ВА и ВС.
Вектор ВА = (-12; 5), модуль 13,
Вектор ВС = (3; 4), модуль 5.
cos B = (-12*3 + 5*4)/(13*5) = -16/65 ≈ -0,24615.
B = arccos (-0,24615)= 1,82 радиан или 104,25 градуса.
5) рівняння бісектриси кута В.
Известно, что биссектриса делит угол пополам. Если на сторонах ВА и ВС треугольника отложить орты (соответственно a и b) и построить на них ромб, то диагональ ромба также поделит угол пополам (по своему свойству) и, значит, ее можно будет взять направляющей биссектрисы. Вектор, построенный на диагонали ромба, равен сумме векторов a и b.
Для нахождения ортов a и b необходимо знать координаты векторов BA и ВС:
ВА = (-12; 5), модуль равен 13, a = ((-12/13); (5/13)).
ВС (3; 4), модуль равен 5, b = ((3/5); (4/5)).
(a + b) = (((-12/13) + (3/5)); (5/13) + (4/5)) = ((-21/65); (77/65)).
По точке В(4; -1) и направляющему вектору ((-21/65); (77/65)) составляем уравнение биссектрисы BG угла В.
(x – 4)/(-21/65) = (y + 1)/(77/65).
6) довжину і рівняння медіани BF.
Находим координаты точки F как середины стороны АС.
F = (А(-8;4) + С(7;3))/2 = (-0,5; 3,5).
Вектор BF = (F(-0,5; 3,5) - В(4;-1) = (-4,5; 4,5).
Модуль BF = √((-4,5)² +(-4,5)²) = √(20,25 + 20,25) = √40,5 ≈ 6,364.
Уравнение медианы BF составляем по точке В(4;-1) и направляющему вектору BF(-4,5; 4,5).
(x – 4)/(-4,5) = (y + 1)/4,5.
7) довжину висоти ВЕ.
Используем найденное значение площади треугольника АВС и найдём длину стороны АС.
Вектор AC = (C(7; 3) - A((-8);4) = (15; (-1)).
Модуль AC = √((15² +(-1)²) = √(225 + 1) = √226 ≈ 15,0333.
Находим |BE| = 2S(ABC)/|AC| = 2*(63/2)/√226 = 63√226/226 ≈ 4,191.
