Question

Почему существует треугольник с медианами 3, 7, 8? чему равна его площадь?

Answer 1

Три отрезка могут быть медианами треугольника тогда и только тогда, когда из них можно составить треугольник. Треугольник существует при условии, что:
a+b>c
a+c>b
c+b>a

3+7>8 верно
3+8>7 верно
7+8>3 верно

 Пусть О – точка пересечения медиан треугольника АВС (см. рис.) и пусть $m_{a} = AM=3, m_{b}=BN=7, m_{c}=CP=8.$
По свойству медиан:$AO= \frac{2}{3}m_{a}, CO= \frac{2}{3}m_{c}, CN= \frac{1}{3}m_{b}$
В треугольнике AOC известны две стороны АО и СО и медиана третьей стороны ON. Достроим треугольник AOС до параллелограмма AOCD, $S_{AOC} =S_{DOC}$, в треугольнике DOC известны три стороны: $DO=2ON= \frac{2}{3}m_{a}, OC= \frac{2}{3}m_{c}, DC=AO= \frac{2}{3}m_{b}$
Площадь треугольника DOC вычисляем по формуле Герона:$S_{1}=S_{AOC}=S_{DOC}= \frac{8}{3}* \sqrt{3}$
Сравним теперь площадь треугольника ABC (обозначим её S) с площадью треугольника AOC. Из теоремы о 2 медианах и площадях следует: $S_{AOC} = S_{AON} + S_{NOC} = 2* \frac{1}{6} *S= \frac{1}{3} *S$
Итак, S=3*S1= $8* \sqrt{3}$