Предположим, что потеряно не более 10 гирек. Тогда при возвращении на место этого количества получится вес, кратный 5+24+43=72. Числа вида 6060...60 при делении на 72 могут давать в остатке 60, 12 или 36, что проверяется непосредственно. Тут будет период 3, так как числа 60606060 и 60 сравнимы по модулю 72 -- их разность делится и на 8, и на 9.
Таким образом, добавленный вес должен иметь вид 12+72k, 36+72k или 60+72k. Остаток от деления на 24 здесь везде равен 12. Осталось показать, что при или менее гирек из набора такой вес не набирается. Чтобы не перебирать много вариантов, заменим числа 5, 24, 43 на 5, 0, -5 по модулю 12. Если x, y, z -- число потерянных гирек каждого из видов, то 5(x-z) кратно 12, а потому и x-z. Значит, x=z, так как x+y+z<=10. Теперь рассмотрим всё по модулю 24, заменяя наши числа на те же: 5, 0, -5. Ввиду x=z, окажется, что суммарный потерянный вес делится на 24. Это приводит к противоречию.
Заметим, что 11 гирек также не могло быть потеряно, а пример с 12 потерянными легко строится (было по 85 гирек каждого веса, а потом 12 гирек весом 5 г потеряли)
1. Аввал иқтисод, кейин сиёсат - Сначала экономика, а потом политика2. Аввал йўлдош, кейин йўл - Сначала попутчик, а потом путь-дорога3. Аввал таом, баъдаз калом - Сначала еда (угощение), а потом беседа4. Аввал ўзингга боқ, кейин ноғора қоқ - Cначала посмотри на себя, потом бей в литавры5. Аввал ўйла, кейин сўйла - Сначала думай, потом говори6. Агар бўлса оқлиғинг, билинмайди йўқлигинг - Если есть молочные продукты, нужды не будет7. Агар одамни билмоқчи бўлсанг, унинг дўстига боқ - Если хочешь узнать человека, посмотри на его друга8. Адашганнинг айби йўқ, қайтиб уйини топса - Заблудиться не грех, если потом найти свой дом9. Аёз, ўтган кунингни унутма, хон чориғингни қуритма - Аяз, не забывай свои дни, не уничтожай старую обувь10. Айтар сўзни айт, айтмас сўздан қайт - Коли нужно сказать — скажи, а коль не нужно — промолчи11. Айтган жойдан қолма, айтмаган жойга борма - От приглашения не отказывайся, куда не приглашали — не иди12. Айтилган сўз — отилган ўқ - Сказанное слово — выпущенная стрела
