Question

При каком наибольшем натуральном n число n! +5n+52 является точным квадратом? (n! =1⋅2⋅…⋅n — произведение всех натуральных чисел то 1 до n)

Answer 1

Предположим, что $n\geq5$, тогда левая часть при делении на пять будет всегда давать остаток 2.

Здачит и правая часть $x^2$ должна давать при делении на 5 остаток 2.

Но для квадратов остатки при делении на пять могут быть только 0, 1 или 4:

$(5k)^2=25k^2+0$

$(5k\pm1)^2=25k^2 \pm10k+$

$(5k\pm2)^2=25k^2 \pm20k+4$

Следовательно должно быть n<5

Тогде перебираем числа 1, 2, 3, 4:

1:  1!+5*1+52=1+5+52=59 не квадрат

2:  2!+5*2+52=2+10+52=64 квадрат

3:  3!+5*3+52=6+15+52=73 не квадрат

4:  4!+5*4+52=24+20+52=96 не квадрат

Следовательно решением является только значение n=2.