Исаак Ньютон разработал метод извлечения квадратного корня, который восходил еще к Герону Александрийскому (около 100 г. н.э.). Метод этот (известный как метод Ньютона) заключается в следующем.
Пусть а1 — первое приближение числа (в качестве а1 можно брать значения квадратного корня из натурального числа — точного квадрата, не превосходящего х).
Следующее, более точное приближение а2 числа найдется по формуле: a2 = (1/2)*(a1 + (x/a1)).
Находим корень из 3.
Его точное (до 6 знаков) значение равно 1,732051.
а1 = 1.
а2 = (1/2)*(1 + (3/1) = 2.
а3 = (1/2)*(2 + 3/2) = 7/4 = 1,75.
а4 = (1/2)*((7/4) + 3/(7/4)) = 97/56 ≈ 1,732143.
Получено значение √3 = 1,732 с тремя верными знаками.
Находим корень из 7.
Его точное (до 6 знаков) значение равно 2,645751.
а1 = 2.
а2 = (1/2)*(2 + (7/2) = 11/4 =2,75.
а3 = (1/2)*(911/4) + 7/(11/4)) = 7/4 = 233/88 ≈ 2,647727.
а4 = (1/2)*((233/88) + 7/(233/88)) ≈ 2,645752.
Округляем полученное значение √7 = 2,646 до трёх знаков.
Сумма полученных значений равна 4,378.
Сумма более точных значений равна 4,377802.
Относительная погрешность равна:
(4,378 - 4,377802)/4,377802 = 4,52011E-05 или 0,005%.
