Question

Решить уравнение (x^2-a^2)^2=4ax+1 относительно x

Answer 1

Пошаговое объяснение:

(x² - a²)² = 4ax + 1

Преобразуем данное выражение:

(x² - a² + t)² = 4ax + 1 + 2t(x² - a²) + t²

Теперь рассмотрим квадратный многочлен относительно x в правой части:

2t * x² + 4a * x + t² - 2a²t + 1 = 0

Хотелось бы найти такое t, чтобы данное выражение стало полным квадратом. Найдем дискриминант и приравняем его к нулю:

D = b² - 4ac = (4a)² - 4 * 2t * (t² - 2a²t + 1) = 0

16a² - 8t³ + 16a²t² - 8t = 0 | : -8

t³ - 2a² * t² + t - 2a² = 0

Подставим t = 2a²:

(2a²)³ - 2a² * (2a²)² + 2a² - 2a² = 0, значит, t = 2a² - корень.

Разобьем на множители многочлен:

(t - 2a²) (t² + 1) = 0

Очевидно, что больше действительных корней данное уравнение не имеет. Вспомним, что мы искали такое t, при котором правая часть - полный квадрат. Что же, подставим ее туда и получим:

(x² - a² + t)² = 4ax + 1 + 2t(x² - a²) + t²

(x² - a² + 2a²)² = 4ax + 1 + 2*2a²(x² - a²) + (2a²)²

(x² + a²)² = 4ax + 1 + 4a²x² - 4a^4 + 4a^4

(x² + a²)² = 4ax + 1 + 4a²x² = (2ax + 1)²

(x² + a²)² - (2ax + 1)² = 0

(x² + a² - 2ax - 1)(x² + a² + 2ax + 1) = 0

Выражение равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю, а остальные существуют. Тут нет ограничений на x.

1) x² + a² - 2ax - 1 = 0 ⇒ x² - 2ax + a² - 1 = 0 ⇒ x² - 2ax + (a-1)(a+1) = 0 по теореме Виета определяем, что x = a - 1 или x = a + 1. Сумма в точности 2a, а произведение (a-1)(a+1).

2) x² + a² + 2ax + 1 = 0 ⇒ x² + 2ax + a² + 1 = 0

D/4 = a² - a² - 1 = -1 < 0 - действительных корней нет.

ответ: x = a ± 1