Question

Log2(2+x)> 1-x нужно logx-2(5-x)> 0

Answer 1

При х=0 достигается равенство. Дальше функция справа монотонно возрастает, а слева монотонно убывает. Значит неравенство верно при х больше 0.

Answer 2

(I) $\log_2{(2+x)} 1-x$ ;

(II) $\log_{x-2}{(5-x)} 0$ ;

$f_1(x) = \log_2{(2+x)}$ – строго монотонно возрастает ;

$f_2(x) = 1-x$ –  строго монотонно убывает ;

Значит пересечение графиков функций $f_1(x)$ и $f_2(x)$ – единственно.

Очевидно при $x = 0 ::: f_1(x) = f_2(x) = 1$ – это и есть пересечение, после которого монотонно возрастающая функция строго превышает убыващую, что и требуется в уловии (I).
Значит решение (I) ::: x > 0 ;

$\log_{x-2}{(5-x)} = \frac{ \ln{(5-x)} }{ \ln{(x-2)} } 0$ ;

Значит или оба логарифма положительны, или оба отрицательны:

(A) $\ln{(5-x)} 0$ при $5-x 1$, а значит x < 4 ;

(Б) $\ln{(x-2)} 0$ при $x-2 1$, а значит x > 3 ;

(А) и (Б) могут быть одновременно положительными при : 3 < x < 4 .

Оба логарифма, очевидно, не могут быть одновременно отрицательными.
Значит решение (II), это : 3 < x < 4 ;
Или иначе $x \in ( 3 ; 4 )$ .

Если условия (I) и (II) – это не отдельные неравенства, а система неравенств, то ответ у такой системы неравенств это ответ на неравенство (II).

Решение (I)&(II), это : $x \in ( 3 ; 4 )$ .