Question

Решите дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: xyy'=x^2+y^2

Answer 1

Линейное однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка.
$xyy'=x^2+y^2\\y=tx;y'=t'x+t\\x^2t(t'x+t)=x^2+t^2x^2|:x^2\\t(t'x+t)=1+t^2\\t\frac{dt}{dx}x=1|*\frac{dx}{x}\\\frac{dx}{x}=tdt\\\int\frac{dx}{x}=\int tdt\\ln|x|=\frac{t^2}{2}+C\\ln|x|-\frac{y^2}{2x^2}=C$