Question

Решите, 1)2. на прямой 2х-у-5=0 найдите такую точку м, сумма расстояний от которой до точек а(-7; 1) и в(-5; 0) была бы наименьшей 2)3. не вычисляя корней уравнения 2х^2+5x-3=0, найти а) х1+х2+х1х2; б) х1^2 + x2^2 в) х1^3+ x2^3

Answer 1

1) Чтобы на прямой 2х-у-5=0 найти такую точку М, сумма расстояний от которой до точек А(-7;1) и В(-5;0) была бы наименьшей надо найти точку А₁, симметричную точке А относительно прямой 2х-у-5=0.
Затем провести прямую ВА₁ и точка пересечения этой прямой  и прямой 2х-у-5=0 будет точкой М.

Находим прямую (пусть это АК), проходящую через точку А (х=-7;у=1) и перпендикулярную прямой 2х-у-5=0 (А=2;В=-1;С=-5)
АК⇒А(у-у₁)-В(х-х₁)=0
АК⇒2(у-1)+1(х+7)=0
АК⇒х + 2у + 5 = 0.
Находим точку пересечения АК и заданной прямой 2х - у - 5 = 0:
х + 2у + 5 = 0                 х + 2у + 5 = 0
2х - у - 5 = 0                  4х - 2у - 10 = 0
                                       ---------------------
                                       5х          -5  = 0      
    Хк = 5/5 = 1
    Ук = 2х - 5 = 2*1 - 5 = -3.

Находим симметричную точку А₁:
Ха₁ = 2Хк -Ха = 2*1 - (-7) = 2 + 7 = 9.
Уа₁ = 2Ук - Уа = 2*(-3) - 1 = -6 - 1 = -7.

Уравнение прямой ВА₁:
$\frac{x+5}{9+5}= \frac{y}{-7}$
$\frac{x+5}{14}= \frac{y}{-7}$ - это каноническое уравнение.
Это уравнение в общем виде :-7х - 35 = 14у
-7х - 14у -35 = 0 или сократим на -7:
  х + 2у + 5 = 0

Точка М находится решением системы уравнений, выражающих прямые 2х - у - 5 = 0 и ВА₁:
{2х - у - 5 = 0             4x - 2y - 10 = 0
{х + 2у + 5 = 0            х + 2 у + 5 = 0
                                    --------------------
                                   5x         - 5  = 0
XM = 5 / 5 = 1,
YM = 2x - 5 = 2*1 - 5 = -3.

ответ: координаты точки М(1; -3).