Дана точка А(-4; 3) и точки М(-1;2), Т(3;-1), через которые должна пройти прямая.
Надо найти расстояние от точки А до прямой МТ.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C|
√(A² + B²)
Для решения по этой формуле надо составить уравнение МТ в общем виде.
Вектор МТ = (3-(-1); -1-2) = (4; -3).
Составляем каноническое уравнение прямой МТ:
(x + 1(=)/4 = (y - 2)/(-3).
Преобразуем его в общее уравнение.
-3х - 3 = 4у - 8
Получаем: 3х + 4у - 5 = 0.
Здесь коэффициенты равны: А = 3, В = 4.
Подставим в формулу данные:
d = |3·(-4) + 4·3 + (-5)|
√(3² + 4²)
= |-12 + 12 - 5|
√(9 + 16)
= 5
√25 = 1
Даны вершины пирамиды А(1; 2; 5), B(2; -3; 1), C(4; -2; 0), D(3; 3; 6).
Находим векторы АВ и АС.
АВ = (2-1; -3-2; 1-5) = (1; -5; -4)
АС = (4-1; -2-2; 0-5) = (3; -4; -5).
Вектор АВ
X Y Z
1 -5 -4
Модуль √42 ≈ 6,48074.
Вектор АC
X Y Z
3 -4 -5
Модуль √50 ≈ 7,07107.
Площадь грани АВС находим как половину модуля векторного произведения векторов АВ и АС.
Находим векторное произведение АВ и АС с применением правила Саррюса.
i j k| i j
1 -5 -4| 1 -5
3 -4 -5| 3 -4 = 25i - 12j - 4k + 5j - 16i + 15k = 9i - 7j + 11k.
Вектор (ABxAC) = (9; -7; 11).
S(АВС) = (1/2)√(9² + (-7)² + 11²) = (1/2)√(81 + 49 + 121) = (1/2)√251 =
= (1/2)*15,84298 = 7,92149 кв. ед.
Для определения объёма пирамиды надо найти вектор AD.
AD = (3-1; 3-2; 6-5) = (2; 1; 1).
Находим смешанное произведение (ABxAC)*AD.
Вектор (ABxAC) = (9; -7; 11).
Вектор AD = (2; 1; 1).
18-7+11 = 22.
Объём пирамиды равен V = (1/6)(ABxAC)*AD = 22/6 = 11/3 куб ед.
