ДАНО: y = x/(5+x³) - функция
1. Область определения:
В знаменателе: х³+5 ≠0 . Не допускаем деления на 0 в знаменателе.
х ≠∛5 ≈ 1,71
D(y)= R\{∛5} X∈(-∞;-∛5)∪(-∛5;+∞).
2. Разрыв II-го рода при Х = -∛5 .
Вертикальная асимптота - Х = -∛5.
3. Нули функции, пересечение с осью ОХ.
Нуль функции: x = 0
4. Пересечение с осью ОУ: Y(0) = 0.
5. Интервалы знакопостоянства.
Отрицательна: Yx)<0 - X∈(-∛5;0).
Положительна: Y>0 - X∈(-∞;-∛5)∪(0;+∞;)
6. Проверка на чётность.
Функция общего вида: Y(-x) ≠ -Y(x) ,Y(-x) ≠ Y(x)
7. Поиск экстремумов по первой производной.
Y'(x) = -3*x³/(5+x³)² + 1/(5+x³) = (5-2*x³)/(5+x³)² = 0
5 - 2*x³ = 0 x = ∛2.5 ≈ 1.357 - корень производной
8. Локальный экстремум.
Y(∛2.5) = ∛2.5 : 7.5 ≈ 0.18 - максимум.
9. Интервалы монотонности.
Возрастает: Х∈(-∞;-∛5)∪(-∛5;∛2.5)
Убывает: X∈(∛2.5;+∞)
10. Поиск перегибов по второй производной.
Y"(x) = 6*x²*(x³-10)/(5+x³)³ = 0.
Точка перегиба при Х 0 и х = ∛10 ≈ 2,15
11. Вогнутая - "ложка"- X∈(-∞;-∛5)∪(∛10;+∞),
выпуклая - "горка" - X∈(-∛5;∛10);
12. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).
13. Наклонная асимптота: У = 0.
14. График функции на рисунке в приложении.
