Одним из наиболее мощных методов интегрирования является замена переменной в интеграле. Поясним суть этого метода. Пусть F'(x)=f(x), тогда
\int f(x)\,dx= \int F'(x)\,dx= \int d\bigl(F(x)\bigr)=F(x)+C.
Но в силу инвариантности формы дифференциала равенство d\bigl(F(x)\bigr)=F'(x)\,dx= f(x)\,dx остается справедливым и в случае, когда {x} — промежуточный аргумент, т.е. x=\varphi(t). Это значит, что формула \textstyle{\int f(x)\,dx=F(x)+C} верна и при x=\varphi(t). Таким образом,
\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,d\bigl(\varphi(t)\bigr)= F\bigl(\varphi(t)\bigr)+C, или \int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt= F\bigl(\varphi(t)\bigr)+C.
Итак, если F(t) является первообразной для f(x) на промежутке {X}, а x=\varphi(t) — дифференцируемая на промежутке {T} функция, значения которой принадлежат {X}, то F\bigl(\varphi(t)\bigr) — первообразная для f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t),~t\in T, и, следовательно,
\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt= \int f(x)\,dx\,.
Эта формула позволяет свести вычисление интеграла \textstyle{\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt} к вычислению интеграла \textstyle{\int f(x)\,dx}. При этом мы подставляем вместо \varphi(t) переменную {x}, а вместо \varphi'(t)\,dt дифференциал этой переменной, т. е. dx. Поэтому полученная формула называется формулой замены переменной под знаком неопределенного интеграла. Она используется на практике как "слева направо", так и "справа налево". Метод замены переменной позволяет сводить многие интегралы к табличным. После вычисления интеграла \textstyle{\int f(x)\,dx} надо снова заменить {x} на \varphi(t).
Пример 1. Вычислим \int\cos2t\,dt.
Решение. Введем новую переменную {x}, положив 2t=x. Тогда 2\,dt=dx,~dt=\frac{1}{2}\,dx и, следовательно,
\int\cos2t\,dt= \int\cos{x}\,\frac{1}{2}\,dx= \frac{1}{2}\int\cos{x}\,dx= \frac{1}{2}\sin{x}+C= \frac{1}{2}\sin2t+C.
Замечание. Вычисление короче записывают так:
\int\cos2t\,dt= \frac{1}{2}\int\cos2t\,d(2t)= \frac{1}{2}\sin2t+C.
Пошаговое объяснение:
x руб. стоит первая книга, y руб стоит вторая книга, z руб. стоит третья книга, c руб стоит четвертая книга, составим систему уравнений:
y + z + c = 42
x + z + c = 40
x + y + c = 38
x + y + z = 36
сложим все эти уравнения, получим:
y + z + c + x + z + c + x + y + c + x + y + z = 42 + 40 + 38 + 36
3x + 3y + 3z + 3c = 156
3 (x + y + z + c) = 156
x + y + z + c = 52 рубля стоит вся покупка, следовательно
х = 52 - (y + z + c) = 52 - 42 = 10 рублей стоит первая книга
у = 52 - (x + z + c) = 52 - 40 = 12 рублей стоит вторая книга
z = 52 - (x + y + c) = 52 - 38 = 14 рублей стоит третья книга
с = 52 - (x + y + z) = 52 - 36 = 16 рублей стоит четвертая книга
Пізнавши закони природи, люди дістали можливість покоряти її.
Астрофізики, на основі всебічного вивчення зір та їх зкупчень
встановили, що ці небесні тіла весь час перебувають у русі і розвитку. Отже, Всесвіт постійно розвивається.
Спочатку Всесвіт був якісно іншим - окремих галактик не існувало.
1.1 Етапи розвитку Всесвіту
Назва ери Вид матерії Тривалість
Квантової космології Не з'ясований < 10-42 c
Адронна Баріони, мезони 10-42 – 10-4
Лептонна Мюони
електрони
позитрони, нейтрино, фотони 10-4 - 10 с
антинейтрино
Випромінювання Електрони,
протони,
ядра гелію, фотони 10 с - 10 6 л
Речовини Атоми, квазари, галактики,
зорі, планети 106 k - понині
1.2 Гіпотеза Канта - Лапласа
Одною з наивідоміших наукових гіпотез про походження Всесвіту є гіпотеза Канта - Лапласа.
В 1755 році німецький філософ І. Кант зробив спробу дати пояснення походження зір. Далі цю теорію розвинув французький математик П. Лаплас.
За цією гіпотезою, Сонячна система утворилася з розрідженої обертаючоюся газової туманності. Під дією сили тяжіння ця туманна маса ущільнилася в центрі та почала охолоджуватися. Завдяки цьому маса туманності почала стискуватися, в результаті чого почала скоріше обертатися. Із швидкістю обертання росла і відцентрова сила і тому газова куля перетворилася у форму еліпсоїду значно сплюснутої форми. З подальшим збільшенням скорості обертання навколо осі настав момент, що біля екватора почали відриватися один за одним газові кільця, утворивши пізніше кулеподібні планети. Сила тяжіння до центра туманності проявила себе як центростремительна сила. При більшій швидкості обертання сили тяжіння не змогли втримати частинки туманності на траєкторії обертання і вони, рухаючись по інерції, почали віддалятися від центра обертання. Це спочатку привело до сплющення туманності, а в подальшому до відриву частинок ії у вигляді газових кілець.
Уявлення про первинко розплавлену землю довгий час господарювали в науці. Вони, . здавалось би, підтверджувались фактами. Дійсно гаючи виверження вулканів, вчені робили висновок : це виведення на поверхню остаточного розплава надр Землі. Горотворення пояснювалось стисненням Землі при охолодженні і т. д.
Але з'явилися нові дані. Їх представили геофізики, які вивчали електропровідність, магнитність та інші властивості гірських порід. Був застосований і сейсмічний метод. Цим методом вивчаються сейсмічні хвилі, тобто упругі коливання, які виникають при землетрусах або вибухах. При цьому колишуться частиці гірських порід.
Вони штовхають сусідні частиці, які передають поштовх у вигляді хвиль. Швидкість розповсюдження сейсмічних коливань досягає декількох кілометрів за секунду. В більш твердіших телах швидкість хвиль збільшується. Проходячи кордони тіл з різною щільністю, упругі коливання частково відбиваються і вертаються на поверхню Землі. Вивчивши відбиття хвиль, вчені довели наявність оболочок земної кори, мантії і ядра. Вияснилось також, що ці оболочки находяться у твердому стані.
Ці дані протиречили гіпотезі Канта — Лапласа, по якій в надрах Землі повинен знаходитися остаточний розплав.
Треба була гіпотеза, яка пояснила би нові факти. В 1943 році ії розробили радянські вчені О.Ю. Шмідт та В.Г. Фесенков. По цій гіпотезі. Земля та інші планети Сонячної системи утворилися з холодної космічної хмари газу та пилу, мавшого дисковидну форму
При ущільненні хмари замість хаотичного руху частиць почалося їх повільне обертання. При цьому виникло безліч астероідних тіл. Шляхом поступового об'єднання, як би склеюванням, сформувалася Земля та інші планети Сонячної системи. Таким чином. Земля ніколи не проходила фазу повного розплавлення. За розрахунками вчених, утворення первинної холодної Землі закінчилось 6-7 мільярдів років назад.
Після утворення Землі почався її розігрів .Його супроводжувало масове виверження лави на поверхню.
Виверження лави проходило завдяки частковому виплавленню речовини Землі. Як горить бенгальський вогонь, піднімаючись по стержню вгору, так і в надрах Землі виплавлялась лиш частина речовини, а частина залишалася, як каркас, твердою. Подібний
розігрів проходив і на Місяці - застивші лави добре збереглися найого поверхні. Рахується, що і Земля проходила цеп етап розвитку. Він був названий лунною ерою. Завдяки виверженню лав в цю еру формувався покров первинної земної кори. Із лави виділялися гази - вони утворили первинну атмосферу. Вона ще не мала у своєму складі кисню. Більше половини об'єму первинної атмосфери складала водяна пара, а температура її перевищувала 100 °С.
При поступовому остиганні атмосфери нижче 100 °С конденсація водяної пари, випадення опадів і виникнення первинного океану. Це відбулося близько 4,5 — 5 мільярдів років назад. З виникненням океану на Землі почався новий геологічний етап.
Космос складається з Галактики, Метагалактики, астероїдів, комет, космічного пилу та іншого.