Question

Координаты: а(-5,-7)в(7,-2)с(11,20) даны координаты вершин треугольника авс найти: 1.длину стороны ав 2.уравнение сторон ав и вс и их угловые коэффициенты 3.угол ψ между прямыми ав и вс в радианах. 4.уравнение высоты сd и ее длину 5.уравнение медианы ае и координаты точки к пересичение этой медианы с высотой сd 6.уравнение прямой l которая проходит через точку к параллельно к сторне ав. 7. координаты точки f(x_f y_f) которая находится симметрично точке а отностьельно прямой сd.

Answer 1

1) Расчет длин сторон:
 АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √169 = 13,
BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √500 = 22.36067977,
AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √985 = 31.38470965.

2) Уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты.
Ха Уа   Хв Ув    Хс Ус
-5  -7      7 -2     11 20
$AB: \frac{x+5}{7-(-5)} = \frac{y+7}{-2-(-7)}$
$\frac{x+5}{12} = \frac{y+7}{5}$.  Это уравнение в каноническом виде. В общем виде оно будет таким:
АВ: 5х - 12у - 59 = 0.
В виде уравнения с коэффициентом:
у = (5/12)х - (59/12), или  у = 0.416667х  - 4.9167.
Угловой коэффициент равен: 
Кав = (Ув-Уа) / ( Хв-Ха)=  5/12 = 0.416667.

Аналогично находим уравнение стороны ВС:
ВС: 22х  - 4у  - 162 = 0
Можно сократить на 2:
ВС: 11х - 2у - 81 = 0.
В виде уравнения с коэффициентом:
у = (11/2)х - (81/2), или  у = 5.5х  - 40.5.
Угловой коэффициент равен:
  Квс = (Ус-Ув) / (Хс-Хв ) = 11/2 = 5,5.

3) Угол Ψ между прямыми АВ и ВС в радианах.
Это угол В, его определяем по теореме косинусов:
cos В= (АВ²+ВС²-АС²) / (2*АВ*ВС) = -0.543537
 B = 2.145441 радиан  = 122.9247 градусов.

4) Уравнение высоты СD и ее длина.
СD: (Х-Хс) / (Ув-Уа)  = (У-Ус) / (Ха-Хв).
В каноническом виде:
$CD: \frac{x-11}{5} = \frac{y-20}{-12}$
В общем виде CD:  -12x  - 5y + 232 = 0 или с положительным коэффициентом при х:
CD: 12x + 5y - 232 = 0.

Длина высоты CD:
CD = 2S / BA .
Находим площадь треугольника :
S =  (1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 122.
Тогда CD = 2*122 / 13 = 18.76923.

5) Уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой СD .
Находим координаты точки Е как средней между точками В и С:
Е((7+11)/2=9; (-2+20)/2=9) = (9; 9).
Уравнение АЕ: $\frac{x+5}{14} = \frac{y+7}{16}$ или в общем виде  16х - 14у - 18 = 0.
Можно сократить на 2:
АЕ: 8х - 7у - 9 = 0.

Координаты точки К пересечения  медианы АЕ с высотой СD находим решением системы уравнений этих прямых:
   8х - 7у - 9 = 0           40х - 35у - 45 = 0
12x + 5y - 232 = 0      84х + 35у -  1624 = 0
                                    -------------------------------
                                    124х          - 1669 = 0
                                           Хк = 1669 / 124 =  13.45968.
                                           Ук = (8х - 9) / 7 =  14.09677.

6) Уравнение прямой L, которая проходит через точку К параллельно стороне АВ.
У прямой L коэффициент к = 5/12 = 0.416667 (как и у прямой АВ).
Подставляем координаты точки К:
14.09677 = 0.416667*13.45968 + в.
Отсюда находим "в":
в = 14.09677 - 0.416667*13.45968 =  8.488575.
Получаем уравнение прямой L:
у = 0.416667х + 8.488575.

7) Координаты точки F(X_F Y_F), которая находится симметрично точке А относительно прямой СD.
Так как прямая СD - это перпендикуляр к стороне АВ, то точка D - центр симметрии.
Координаты D(18.2189349; 2.6745562).
xF = 2*xD - xA = 2*18.2189349 - (-5) =  41.4378698,
yF = 2*yD - yA = 2*2.6745562 - (-7) =  12.349112.