Пошаговое объяснение:
Прежде, чем найти общие множители разложим всё по порядку:
m=2·7·13·29
n=3·5·7·13
k=2·3·17·29
Как видим из этого разложения общих множителей не наблюдается. Но всегда есть общий множитель - это: 1.
Следовательно, НОД (m,n,k)=1.
Для того, чтобы приступить дальше, необходимо из этих разложений найти наибольшее число. Итак, приступим:
2·7·13·29=5278
3·5·7·13=1365
2·3·17·29=2958
1365<2958<5278
Выпишем из большего числа все множители, это: 2; 7; 13; 29.
Теперь запишем множители с остальных чисел, которые не вошли в разложение множителей наибольшего числа: 3; 5; 17.
Для того, чтобы определить НОК, нужно добавить недостающие множители к множителям наибольшего числа:
2·7·13·29·3·5·17=1345890.
Следовательно, НОК (m; n; k)=1345890.
По условию никакие три из диагоналей, кроме случая, когда все три диагонали странные не пересекаются в одной точке. Заметим, что каждой паре пересекающихся диагоналей можно поставить в соответствие четыре вершины 30-тиугольника с концами диагоналей в этих вершинах. И наоборот любые четыре вершины однозначно определяют пару пересекающихся диагоналей с концами в этих вершинах. Таким образом установлено взаимно однозначное соответствие между каждой парой пересекающихся диагоналей и четверкой вершин им соответствующих. Подсчитаем вначале сколько всего точек пересечения диагоналей будет в данном выпуклом 30-тиугольнике без учета того, что 10 из его диагоналей пересекаются в одной точке. Так как каждой паре пересекающихся диагоналей соответствует четверка вершин многоугольника, то общее количество точек пересечения диагоналей дается количеством сочетаний из 30-ти вершин по 4, то есть C⁴₃₀ = 30!/4!(30-4)! = 30!/4!26! = 30*29*28*27/24 = 657720/24 = 27405. Общее количество точек пересечения диагоналей равно 27405. Теперь учтем тот факт, что 10 диагоналей в данном 30-тиугольнике пересекаются в одной точке. Заметим также, что поскольку эти 10 диагоналей пересекаются в одной точке, то концы никаких двух из них не исходят из одной вершины. А это значит, что если бы они не пересекались в одной точке, то точек пересечения было бы больше на количество сочетаний из десяти по два C²₁₀ - 1. Вычитаем единицу, поскольку имеется одна общая точка пересечения. Подсчитаем C²₁₀ = 10!/2!(10-2)! = 10!/2!8! = 10*9/2 = 90/2 = 45, имеем на C²₁₀ - 1 = 45 - 1 = 44 точки пересечения меньше общего числа подсчитанного ранее. Тогда общее количество точек пересечения в таком многоугольнике будет равно C⁴₃₀ - (C²₁₀ - 1) = C⁴₃₀ - C²₁₀ + 1 = 27405 - 45 - 1 = 27405 - 44 = 27361.
ответ: Всего 27361 точка пересечения.
