Question

Приняв площадь прямокгольника за 1, запишите число 1 в виде суммы аликаотных дробей с различными знаменателями

Answer 1

Аликвотными называют дроби с числителем, равным единице, и целым знаменателем. Такие дроби использовались в древнем Египте.

Должно выполняться:

$1 = \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \frac{1}{n_3} + ... + \frac{1}{n_k}$ ;

Пусть $n_1 = 2 ,$ тогда:

$1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{n_2} + \frac{1}{n_3} + ... + \frac{1}{n_k}$ ;

$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{n_2} + \frac{1}{n_3} + ... + \frac{1}{n_k}$ ;

$\frac{1}{n_2} + \frac{1}{n_3} + ... + \frac{1}{n_k} = \frac{1}{2}$ ;

Пусть $n_2 = 3 ,$ тогда:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{n_3} + ... + \frac{1}{n_k} = \frac{1}{2}$ ;

$\frac{1}{n_3} + ... + \frac{1}{n_k} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ;

$\frac{1}{n_3} + ... + \frac{1}{n_k} = \frac{1}{6}$ ;

Тогда за $n_3$ можно взять $n_3 = 6$ и:

$\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \frac{1}{n_3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1 ,$

Что и требуется по условию.

Учитывая предложение Hote, каждую и уже полученных дробей можно, в свою очередь, представить в виде более мелких дробей, используя представление: $\frac{1}{m} = \frac{1}{m+1} + \frac{1}{m(m+1)} ,$ и тогда можно дополнительно раздробить каждое из предложенных слагаемых, как:

$\frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} ,$ получив $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = 1 ,$

или $\frac{1}{6} = \frac{1}{7} + \frac{1}{42} ,$  получив $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{42} = 1$

и т.п.

В ответе и графическом представлении приведём наименее сложный вариант.

О т в е т : $1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} .$