Question

Два гравці по черзі монету.переможе той , у кого раніше з'явиться "герб". знайти ймовірність виграшу для того, хто починає гру.

Answer 1

Игра устроена таким образом, что в каждом коне может выиграть только тот, кто в данный момент подбрасывает монетку, второй участник при этом принимает лишь пассивное участие в игре, выполняя роль наблюдателя. Вообще начинающий игру может выиграть в 1-ом, 3-ем, 5-ом, 7-ом, и т.д. в любом нечётном коне. А его визави (второй участник) может выиграть, соответственно только в чётных конах.

Вероятность для начинающего выиграть в первом коне составляет $P_1 = \frac{1}{2} .$

Остаточная вероятность $P'_1 = 1 - P_1 = \frac{1}{2}$ останется на все остальные коны.

Вероятность локального выигрыша во втором коне для визави составляет $\frac{1}{2}$ от остаточной вероятности, т.е. вообще составит.: $P_2 = P'_1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} .$

Остаточная вероятность после второго кона $P'_2 = \frac{1}{2} - P_2 = \frac{1}{4}$ останется на все остальные коны.

Вероятность локального выигрыша в третьем коне для начинающего игру составляет $\frac{1}{2}$ от остаточной вероятности, т.е. вообще составит.: $P_3 = P'_2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} .$

Остаточная вероятность после третьего кона $P'_3 = \frac{1}{4} - P_3 = \frac{1}{8}$ останется на все остальные коны.

Каждый раз вероятность выиграть в каком-то коне уменьшается вдвое, т.е. вероятность выиграть в N-ом коне составляет $\frac{1}{2^N} .$

Тогда полная вероятность выигрыша для начинающего игру составит:

$P_I = P_1 + P_3 + P_5 + P_7 + . . . = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{32} + \frac{1}{128} + . . .$

А полная вероятность выигрыша для визави составит:

$P_{II} = P_2 + P_4 + P_6 + P_8 + . . . = \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \frac{1}{256} + . . .$

Легко видеть, что каждый член убывающей геометрической прогрессии в первом равенстве ровно в два раза больше каждого соответствующего члена убывающей геометрической прогрессии во втором равенстве, а значит, и сумма всей первой прогрессии в два раза больше сумы второй последовательности:

Т.е.: $P_I = 2 P_{II}$ ;

С другой стороны, ясно, что полная вероятность всех исходов равна единице, т.е.:

$P_I + P_{II} = 1$ ;

$2 P_{II} + P_{II} = 1$ ;

$3 P_{II} = 1$ ;

$P_{II} = \frac{1}{3}$ ;

$P_I = \frac{2}{3}$ ;

О т в е т : вероятность выигрыша начинающего игру
составляет $P_I = \frac{2}{3} .$