Question

Найти площадь плоской фигуры,ограниченной указанными линиями.выполнить чертеж а)между у=(x^2)/2 и у=1/(1+х^2)

Answer 1

Чтобы найти площадь фигуры между двумя кривыми, нужно найти ограниченную ими область, а для этого найти их точки пересечения. Соответственно решаем уравнение:

$\frac{x^2}{2} = \frac{1}{1+x^2}$ ;

$( 1 + x^2 ) x^2 - 2 = 0$ ;

$x^4 + x^2 - 2 = 0$ ;

По Виетта: $( x^2 + 2 ) ( x^2 - 1 ) = 0$ ;

$( x^2 + 2 ) ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 0$ ;

$x_{1,2} = \pm 1$ ;

Нам не важно, касаются ли в этих ровно двух точках кривые или пересекаются, так или иначе они отсекают на плоскости ограниченную область между этими двумя точками (хотя из нечётности корней следует, что кривые как раз именно и пересекаются).

Площадь $S = | \int\limits^{x_2}_{x_1} ( \frac{x^2}{2} - \frac{1}{1+x^2} ) \, dx | = | ( \frac{x^3}{6} |_{-1}^1 - arctg{(x)} |_{-1}^1 ) | =$

$= | \frac{1^3 - (-1)^3}{6} - ( arctg{(1)} - arctg{(-1)} ) | = | \frac{2}{6} - \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} | = | \frac{1}{3} - \frac{\pi}{2} | = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3}$ ;

О т в е т : $S = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3} .$