Для решения данной системы уравнений, нам понадобится использовать метод подстановки.
Шаг 1: Выразить одну переменную через другую в одном из уравнений.
Возьмем первое уравнение: ♥x^2 - xy + 6y^2 = 0.
Мы можем выразить x через y, используя этот уравнение, но давайте сначала попробуем привести его к каноническому виду, чтобы сделать дальнейшие вычисления более простыми. То есть, мы попытаемся записать его в форме (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, где (a, b) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.
♥x^2 - xy + 6y^2 = 0
Сгруппируем слагаемые с x и y:
(♥x^2 - xy) + 6y^2 = 0
Вынесем общий множитель из первых двух членов:
x(♥x - y) + 6y^2 = 0
Мы видим, что у нас есть произведение x(♥x - y). Чтобы выделить полный квадрат, нужно подобрать такое число, которое бы стояло перед x^2 и давало при умножении с ♥x старший член второго порядка:
\[
(♥x - 3y/2)^2 + (6y^2 - 9y^2/4) = 0
\]
Сократим дробь и упростим:
(♥x - 3y/2)^2 + (24y^2 - 9y^2)/4 = 0
(♥x - 3y/2)^2 + 15y^2/4 = 0
Таким образом, мы получили каноническое уравнение окружности с центром (3y/2, 0) и радиусом sqrt(-15y^2/4).
Шаг 2: Подставить полученное выражение в другое уравнение системы и решить полученное квадратное уравнение.
Возьмем второе уравнение: 20 - 2xy + y^2 = 0.
Теперь заменим x в этом уравнении на полученное выражение: x = 3y/2.
Выражение 20 - 2y^2 можно переписать в виде 2y^2 - 20 = 0 или y^2 - 10 = 0. Здесь уже очевидно, что y = +-sqrt(10).
Шаг 3: Подставить найденные значения y в первое уравнение и выразить x.
При y = sqrt(10):
x = 3 * sqrt(10)/2
x = (3 * sqrt(10))/2
При y = -sqrt(10):
x = 3 * (-sqrt(10))/2
x = (-3 * sqrt(10))/2
Таким образом, система уравнений имеет два решения:
1) (x, y) = ((3 * sqrt(10))/2, sqrt(10))
2) (x, y) = ((-3 * sqrt(10))/2, -sqrt(10))
Ответ: Решением системы уравнений ♥x^2 - xy + 6y^2 = 0 и 20 - 2xy + y^2 = 0 являются точки ((3 * sqrt(10))/2, sqrt(10)) и ((-3 * sqrt(10))/2, -sqrt(10)).
Шаг 1: Выразить одну переменную через другую в одном из уравнений.
Возьмем первое уравнение: ♥x^2 - xy + 6y^2 = 0.
Мы можем выразить x через y, используя этот уравнение, но давайте сначала попробуем привести его к каноническому виду, чтобы сделать дальнейшие вычисления более простыми. То есть, мы попытаемся записать его в форме (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, где (a, b) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.
♥x^2 - xy + 6y^2 = 0
Сгруппируем слагаемые с x и y:
(♥x^2 - xy) + 6y^2 = 0
Вынесем общий множитель из первых двух членов:
x(♥x - y) + 6y^2 = 0
Мы видим, что у нас есть произведение x(♥x - y). Чтобы выделить полный квадрат, нужно подобрать такое число, которое бы стояло перед x^2 и давало при умножении с ♥x старший член второго порядка:
\[
(♥x - 3y/2)^2 + (6y^2 - 9y^2/4) = 0
\]
Сократим дробь и упростим:
(♥x - 3y/2)^2 + (24y^2 - 9y^2)/4 = 0
(♥x - 3y/2)^2 + 15y^2/4 = 0
Таким образом, мы получили каноническое уравнение окружности с центром (3y/2, 0) и радиусом sqrt(-15y^2/4).
Шаг 2: Подставить полученное выражение в другое уравнение системы и решить полученное квадратное уравнение.
Возьмем второе уравнение: 20 - 2xy + y^2 = 0.
Теперь заменим x в этом уравнении на полученное выражение: x = 3y/2.
20 - 2 * (3y/2) * y + y^2 = 0
20 - 3y^2 + y^2 = 0
20 - 2y^2 = 0
Выражение 20 - 2y^2 можно переписать в виде 2y^2 - 20 = 0 или y^2 - 10 = 0. Здесь уже очевидно, что y = +-sqrt(10).
Шаг 3: Подставить найденные значения y в первое уравнение и выразить x.
При y = sqrt(10):
x = 3 * sqrt(10)/2
x = (3 * sqrt(10))/2
При y = -sqrt(10):
x = 3 * (-sqrt(10))/2
x = (-3 * sqrt(10))/2
Таким образом, система уравнений имеет два решения:
1) (x, y) = ((3 * sqrt(10))/2, sqrt(10))
2) (x, y) = ((-3 * sqrt(10))/2, -sqrt(10))
Ответ: Решением системы уравнений ♥x^2 - xy + 6y^2 = 0 и 20 - 2xy + y^2 = 0 являются точки ((3 * sqrt(10))/2, sqrt(10)) и ((-3 * sqrt(10))/2, -sqrt(10)).