Question

Вправильной усеченной треугольной пирамиде сторона меньшего основания равна 3 см, а боковое ребро , равное 4 см, образует с высотой угол 60 градусов. найдите объем пирамиды. ( с полным решением и рисунком)

Answer 1

Чтобы найти объём, нужно знать высоту пирамиды и площади обоих оснований.

Рассмотрим прямоугольный тр. B1BH:
угол B1 = 60, => угол B = 30
Катет, лежащий против угла в 30 гр., равен половине гипотенузы => B1H = 1/2 BB1 = 1/2 * 4 = 2
Значит, высота пирамиды h = 2.

Тр. A1B1C1 правильный, его площадь можно найти по формуле $\frac{ \sqrt{3} a^2}{4}$, получится $S_1 = \frac{9 \sqrt{3} }{4}$ см

Точка H является центром правильного тр. ABC, => HВ - радиус описанной окружности. HB можно найти по теореме Пифагора, HВ = 2√3
По этому радиусу можно сразу найти площадь треугольника по формуле
$S_2 = \frac{3 \sqrt{3} R^2}{4} =9 \sqrt{3}$

Объём находится по формуле
$V = \frac{1}{3} h(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2) = \frac{2}{3} ( \frac{9 \sqrt{3} }{4}+ \sqrt{\frac{9 \sqrt{3} }{4}*9 \sqrt{3}} + 9 \sqrt{3} ) = \frac{42 \sqrt{3} }{4}$ см