1) y=(x^3/6)-x^2
y '(x) = (3x^2/6)-2x=(x^2/2)-2x
(x^2/2)-2x=0
x^2-4x=0
x(x-4)=0
Находим критические точки
x=0 и x=4
Находим вторую производную
y '' (x)=x-2
Определяем знак второй производной в критической точке
f'' 0)<0
f''(4)>0
Следовательно, x=0 - точка максимума
x=4 - точка минимума
Находим точку перегиба
f''(x)=0
x-2=0
x=2 - критическая точка второго рода
Точка с абсциссой x=2 есть точка перегиба
Находим ординату перегиба
y(2)=8/6-4=-8/3
Таким образом точка (2; -8/3) - точка перегиба
Функция возрастает от - бесконечности до 0 и от 4 до + бесконечности
Функция убывает от 0 до 4
2) y=e^(-x^2)
y ' =-2x*e^(-x^2)
Находим критические точки
-2x*e^(-x^2)=0
x=0
Находим вторую производную
y ''(x)=-2*e^(-x^2)+4x^2*e^(-x^2)=e(-x^2)*(-2+4x^2)
Определяем знак второй производной в критической точке
y''(0)=-2
Следовательно, x=0 - точка максимума
Находим точку перегиба
f''(x)=0
e(-x^2)*(-2+4x^2)=0
(-2+4x^2)=0
4x^2=2
x^2=1/2
x=±sqrt(1/2)- критические точки второго порядка
точки с абсциссами x=sqrt(1/2) и -sqrt(1/2) - точки перегиба выпуклостью вниз
Находим ординаты перегиба
y(-sqrt(1/2)=e^(1/2)
y(-sqrt(1/2)=e^(-1/2)
y(2)=8/6-4=-8/3
Функция y(x)>=
Функция возрастает от - бесконечности до нуля и убывает от 0 до + бесконечности
3) y=(2x)/(1+x^2)
y ' (x)=2x/(1+x^2)-4x^2/(1+x^2)^2
Находим критические точки
2x/(1+x^2)-4x^2/(1+x^2)^2
2x(1+x^2)-4x^2=0
x=0
x=0 - критическая точка
Находим вторую производную
y''(x)=-12x/(1+x^2)^2+16*x^3/(1+x^2)^3
Определяем знак второй производной в критической точке
y''(0)<0
Следовательно, x=0 - точка максимума
Находим точку перегиба
f''(x)=0
-12x/(1+x^2)^2+16*x^3/(1+x^2)^3=0
-12x-12x^3+16x^3=0
x=0 - точка перегиба выпуклостью вверх
x=-sqrt(3)-точка перегиба выпуклостью вниз
x=sqrt(3)- точка перегиба выпуклостью вниз
Функция спадает от - бесконечности до -sqrt(3) и jn 0 до sqrt(3) и на остальных промежутках возрастает
4) y=2^(1/x)
y'(x)=-2^(1/x)*ln(2)/x^2
точка x=0 - точка разрыва
функция убывает от - бесконечности до нуля и от 0 до + бесконечности
точки перегиба можно определить как в предыдущих заданиях
